при Коо. Коэффициенты сц при кф1 предполагаются постоянными, причем с*,л-*+1=1> при k=l, п. В некоторых случаях закон изменения с, может быть упрощен, а цепочка соотношений (10.2) укорочена. Это делается путем выполнения требования a = Xi для некоторого г, 1г<л. Полагаем в этом случае с, = 6 (/Q = 1 и с„ = 0 при т = г-{-1, п.

Произведем в системе (10.1) замену времени = [j,t, где JJ, = (/С)]" играет роль малого параметра. Новая система будет иметь вид

~ = [>-XiU 1=1, п~1,

= -Х, Isigna, -(J, 2 CokXk-

При IX = О получим уравнение dx„

- \Xi\ sign Oi,

(10.3)

(10.4)

описывающее быстрое движение системы. Это уравнение в совокупности с условиями

д;, = д;г= const, 1=1, п-1

(10.5)

выделяет в системе координату х„, имеющую более быстрое изменение по сравнению с остальными координатами. Предположим сначала, что хфО. В силу уравнения (10.4) точка фазового пространства совершает быстрое движение по прямой (10.5) к точке, определяемой уравнением ai = 0 или, что то же самое, уравнением

(10.6)

Х„ - - CjirJ - ... - Cl „ iXn- 1-

Заметим, что здесь величина сц, зависящая от xJ, ..., x5i i, является постоянной, поэтому уравнение (10.6) для данных начальных значений точно определяет предельную величину переменной Хп-

Не производя пока полного анализа движения изображающей точки в силу (10.1), можем сделать вывод, что медленное движение точки фазового пространства этой системы будет совершаться вблизи или на поверхности (10.6). Отсюда

следует, что уравнение

эквивалентное системе

xi = Xi.i, i=l, n -2,

л-1 k = \

(10.7)

(10.8)

приближенно описывает медленное движение системы (10.1).

Таким образом, при достаточно большом значении К систему (10.8) можно рассматривать как систему, описывающую скольжение первого порядка.

Рассматривая теперь систему (10.8) как исходную, и применяя к ней аналогичные рассуждения, в частности, заменяя время = [j,,T, где jj.= ft, (/С), получим систему, подобную системе (10.8):

.*i = -,-+i> Ь •••> « - 3,

п-2 k = \

описывающую скольжение второго порядка. Скольжение яг-го порядка описывается системой

(10.9)

= -i+i = 1> • • • > п - т-\,

п - т

1 = - S т. ft = l

(10.10)

в частности, скольжение п - 1-го порядка определяется уравнением

х, = -х,. (10.11)

Заметим еще раз, что переход от системы {п - т-\- 1)-го порядка к системе (л - т)-то порядка, описывающей скольжение /л-го порядка, происходит в результате некоторой идеализации движения, состоящей в рассмотрении движения с точностью до быстро меняющихся компонент.

2. Чтобы предыдущие рассуждения не были формальными, необходимо рассмотреть более подробно две проблемы. Нужно показать, что скользящий режим существует, и показать, что

система начиная с некоторого момента времени входит в скользящий режим. Остановимся сначала на вопросе существования скольжения.

Чтобы поверхность о, = О (в точках, где ф 0) была поверхностью скольжения системы (10.1), необходимо выполнение в точках поверхности соотношений

Иш а,<0, lim о,>0. (10.12)

Из уравнений (10.1) и (10.2) получим

а, = - CoiXi + (Си - Соз) Хс; -[- ... + (с,. - Со„) л:„.

Чтобы условия (10.12) выполнялись, достаточно потребовать выполнения неравенства

*o(/0Ji>l(ii -Cos!)Js! + ••• +(Ci.„-i -Co«)Jnl-

Таким образом, скольжение отсутствует в той части поверхности о, = 0, где выполнено неравенство:

*o(/01Ji<l(cn -Co2)x5!+ ... +(с,.„ , -Со„)л:„-

При достаточно большом К это будет узкий сектор, содержащий внутри себя многообразие о, = 0, л:, = 0, назовем его сектором прошиваемости. Дойдя до границы сектора прошиваемости, точка фазового пространства сходит с поверхности 01 = 0 с тем, чтобы быстро вернуться на нее. Таким образом, мы получаем здесь быстрое движение и, следуя нашей методике, можем им пренебречь. Дойдя до поверхности oi=0, точка фазового пространства снова начинает совершать быстрые движения от одной части поверхности о, = 0 (при СцО) к другой (при <7ii<0). Это будет скольжение второго порядка, которое детально рассмотрено ниже.

Рассуждение о существовании скользящего режима, проведенное для системы (10.1), разумеется, справедливо и для системы (10.10). Таким образом, доказывается существование у системы (10.1) скольжений всех порядков от первого до («-1)-го включительно.

3. Задача доказательства попадания точки фазового пространства на поверхность О; = О осложняется тем обстоятельством, что коэффициенты, входящие в уравнения этих поверхностей, могут быть неположительными. Более того,