§5] ЙаДАЧА о накоплении возмушений, i 173

Теорема 5.4. Если для любой функции и {t) С р. 1</7<со, задача (4.1) имеет ограниченное решение, то суш,ествует положительное число а и скалярная положительная функция N{i) такие, что любое решение уравнения фЛ) удовлетворяет неравенству при tt:

>(0A(«)-"<-»"lb(gi, (5.14)

где 1 + 1=1.

Докажем теорему. Пусть у (t) - ненулевое решение уравнения (5.7). Выберем произвольные числа -ztaO и определим функцию 7 (t), полагая •;f () = 1 при + и .() = 0 вне указанного промежутка.

Очевидно, функция

х(о=з(0$т() Wyi-Wdz

является решением задачи (4.1) при н (О = Т(0!1(0 Цз* (О !Г. Так как u{t)aLp и и ]р = т, то по условию теоремы x(t) будет ограниченным решением задачи (4.1). В силу леммы 5.1 существует положительная постоянная Кр такая, что

х(0/Ср uWpKp".

Полагая

f{t) = S\\y(s)Vds, (5.15)

получим при т о

II j; (0 + ) II ? (0 + ) Kpz• Р. (5.16)

Так как у (о + ) 11"= ? (о +). то из (5.16) следует

Но + )/Ср-Ч-/Рср(„ + т).

Интегрируя последнее выражение в пределах от т,, до т, получим

ср (0 + ) ? (0 + «) ехр [дК-/ (х/? - х1Щ В силу (2.28) имеем у (t, + т) Д (о. ) У (4) !, где

Д(„,т) = ехр°$ \\Ais)\\ds.

Согласно (5.15) имеем

o(\\y{h)\\Hh,4)r. (5.17)

Таким образом, из (5.16) и (5.17) следует I! у + ) II 2= V (0. о) Vexp (А-рЧУ*) Р X

Хехр(- дКрх/я) II у (МП-

Пусть а - произвольное положительное число из интервала <л<дКр. Нетрудно убедиться, что

max хР ехр (а - qKp) = W (9 V - а)-9Р = Х (а).

Пусть

Л(о) = Л(=, 0, о) = А (0, о) ехр (А-рЧу?) max (1, АрХ (я) ). Очевидно, при т iS О получим

y(fo + x) IIMo)-" II у (о) 11,

что эквивалентно (5.14).

Теорема 5.5. Если для всякой функции it{t)(CQ задача (4.1) имеет ограниченное решение, то существует постоянная а и скалярная положительная функция N{t) такие, что любое решение у {t) уравнения (5.7) удовлетворяет при ttoO неравенству

y(OlKMo)e-"<-«4b(Mll- (5.18)

Докажем теорему. Определим функцию 7 {t) следующим образом:

1 при tta-{-x,

7(0= l-{t~t,-x) при t,xtt,xl,

.0 при 0 + + 1 < .

Рассмотрим функцию и (t) = 7 {t)y (t) у {t)\\~\ где у (О - ненулевое решение уравнения (5.7). Очевидно, имеем 11??(0со = = 1. Функция

xit)=y{t)l(s) \\y{s)\\- ds

является решением задачи (4.1) при выбранном возмущении ii{t), следовательно, в силу леммы 5.1 имеем при tt 11 X (t) 11 А, где К-некоторое положительное число.

Снова определяя функцию f(t) соотношением (5.15), получим

1Ь(о + )1?(о + )=

= \\y(to + )\{l \\y{s)\\-4sK, (5.19)

откуда следует

?(о + )=г/С-9(о)-

Интегрирование последнего неравенства в пределах от Tq до т, тто дает нам

? (0 + ) 9 (0 + х„) ехрКЧ- о)- (5-20)

Таким образом, из (5.19), (5.17) и (5.20) выводим

11У (0 + ) II Ktxp (К-\) х„-Д (f„, т„) ехр (- Kz) II у („) II

и вводя функцию

N(t,) = А iU, То) е-о max (I, /С),

получим требуемый результат

1у(„ + т) \\N(h)e-<- \\y{t,)\\.

Чтобы получить (5.18), достаточно положить а-КК

Так как любую функцию из можно считать принадлежащей любому из пространств С, Lm, Мр, то теорема 5.5 будет справедлива и в том случае, если в ее формулировке заменить пространство любым из указанных пространств. Следствие. Если при u(t)CZC задача (4.1) имеет ограниченное решение х (t), то это решение обладает свойством limx() = 0.

/-со

в самом деле, так как u(t)CZC то для любого sO существует х такое, что u{t) \\ sge/C" при fSsx, где постоянная К взята из доказательства предыдущей теоремы.

Определим далее функцию /(/), полагая f(t) = u(i) при fsx и f(i) - u(t) при fx. Очевидно, справедливо неравенство 11/(0 II А" и, следовательно, задача y = A(t)y-f-+/(0> (о) -имеет ограниченное решение. В силу леммы 5.1 имеем также у {t) Ц «S А Ц / (О < е.