<е/2 при fot-<8/4. Из условия

Если II x(to) II <0, то имеем x(t) sSo+T", и, кроме того, х(о + 7")

(6.28) следует, что у (t) - х (О < 8/4 при ==; ==; + 7", откуда получим 13(0<5 при „ f„7 и 113(0+7-) <8/2.

Предположим теперь, что доказано

1(0 tl< г/2"- при „ + (л 1)7„ + /г7

и 3(« + «7-)]<8/2

В самом деле, из условий леммы (6.24) и (6.26) получаем lb (01 <e/2-f 8/2<г при tt st-iT. Далее из (6.24) и (6.25) следует 3(о + Л <8.

Таким образом, за промежуток времени [о. о+Л точка у (О не выйдет за пределы области 3 <С и в момент времени t - t~\-T будет лежать в области 3<8.

Беря теперь момент времени =:„+7" за начальный и проводя аналогичные рассуждения, т. е. рассматривая решение x{t), определяемое условием x(io~rT)=y(t(,-T), убедимся, что точка y{t) не выйдет за пределы области 3<е при to-- Т st st(,-\- 2Т, и, кроме того, получим 113(0-1-27) <8.

Продолжая далее аналогичные рассуждения, убедимся, что :(0<епри„ + («- 1)7<„ + «7и 13(о4-«Л1К < 8, что и доказывает лемму.

Положение равновесия х = 0 назовем экспоненциально устойчивым в малом, если можно указать такое еО, что любое решение x{f) уравнения (6.22) при- л:(<(,) <е, fto удовлетворяет неравенству

II X (О II Be--o)\\xit,)\\, (6.27)

где яО, ВО не зависят от о-

Лемма 6.4. Если при x(to)=y(io) и iotto~\-T имеет место неравенство

II (О-3(О II 1/4 II (о) II, (6.28)

где to - любое положительное число и точка х=0 экспоненциально устойчива в малом для уравнения (6.22), то эта точка будет экспоненциально устойчивой в малом и для уравнения (6.23).

Докажем лемму. Пусть 7=1/я1п4В и b = s/2B, где & - произвольное положительное число, для которого справедливо неравенство (6.27).

<8/2"+ при t) <з/2"« +

<8/2", Т)\\<

В самом деле, из (6.27) следует, что если то II х(0 <е/2"+ при tQttQ-\-T и <8/2+-1 Условие (6.28) дает \\x{t)-y{i) ttttQT, откуда следует, что \\у -f 8/2+2<е/2" при trtrtT и (о 4-7) f<: 8/2"+

Принимая теперь в качестве число t--nT, убеждаемся в справедливости неравенств (6.29) и (6.30). Из этих неравенств легко выводится неравенство

II у (t) II Ш ехр (- а 1п 2/1п 45 (t ~ t)),

доказывающее утверждение нашей леммы.

Пусть теперь в области D функция Х{х, t) удовлетворяет условию Липшица

\\Х{х, t)-X{>, oII-II--jMI. (6.31)

а функция R{x, t) - условию

И(х, 0<-> (6.32)

где 7] - положительная постоянная.

Теорема 6.5 (об устойчивости при постоянно действующих возмущениях). Если нулевое решение уравнения (6.22) равномерно асимптотически устойчиво, то для любого е>0 можно указать такие числа 8>0 и 7)>0, что для любого решения y{t) уравнения (6.23) из неравенств (6.32) " 13()< следует при tt неравенство

\\yit) IK-

В самом деле, согласно лемме 6.3 выберем для заданного ЕО числа 70 и 80 так, чтобы выполнялись неравенства (6.24) и (6.25). Из теоремы 2.6 выводим нера-венс1во

II Л-(0-3(О 11 \ e-HJs = -njL(e ~\).

Покажем, что имеют место неравенства

3;(0<£/2- при «7if„ + («-f 1)7 (6.29)

з;(„ + («+1)7)<8/2". (6.30)

Очевидно, если tj выбрать исходя из неравенства fi/L Х, Х(е-1)<:8/2, то все условия леммы 6.3 будут выполнены и мы получим требуемый результат.

Теорема 6.5 может быть усилена в том смысле, что вместо неравенства (6.32) можно потребовать выполнение неравенсгва \\ Н(х, 0»i(0 с оценкой 7)(0 по норме в пространствах М, М, как это делалось при доказательстве леммы 6.2.

Теорема 6.6. Пусть выполнено в области D условие (6.31) и условие

\\Rix, t)\\M\\x\\. (6.33)

Если нулевое решение уравнения (6.22) экспоненциально устойчиво в малом, то при достаточно малом значении М нулевое решение уравнения (6.23) также будет экспоненциально устойчивым в малом.

Докажем теорему. Пусть Г = 1п 4Д где а ц В взяты

из условия (6.27). Принимая во внимание условия (6.31), (6.33) и неравенство л:(08Д вытекающее из (6.27), можно получить при 0 = 0 ~Ь 7" неравенство

II xit)-yit) \\(ем+ш-к-1), (6.34)

которое мы установили при доказательстве леммы 4.4 второй главы. Выбирая М достаточно малым, мы можем добиться, чтобы правая часть (6.34) стала меньше 8/4. Далее применяем лемму 6.4.

6. Отметим теперь работы, в которых в случае конечномерного фазового пространства рассматривались затронутые выше вопросы.

Наиболее ранние работы, посвященные вопросам исследования устойчивости при ограниченных постоянно действующих возмущениях, принадлежат С. И. Горшину [108] и И. Г. Малкину ([8], стр. 308). Устойчивость движений при возмущениях, ограниченных в среднем, исследовалась в работе В. Е. Гермаидзе и Н. Н. Красовского [109]. Исследование устойчивости периодического движения при ограниченных постоянно действующих возмущениях было проведено Н. А. Артемьевым [110]. Вопросы существования, сохранения и устойчивости периодического движения при ограниченных по модулю внешних воздействиях рассмотрены в

7 Е. А. Барбашин