Наряду с системой (7.4), эквивалентной системе (7.2), рассмотрим упрощенную систему

dX у

dY dx

(7.5)

g = -;sign/?.

Пусть в начальный момент времени /?0. Система (7.4) имеет тогда следующий вид:

dx -

fx=-\\-

(7.6)

Из леммы 4,1 следует, что решение системы (7.5) обладает свойством Х - оо, К -оо, Z -оо, если только начальная точка не лежит на прямой Х= - Y=Z. Из условия Ь) следует, что при Л<0 имеем ср (Л, 0)0. Так как

Yf{X, У)< Yf{X, 0),

то при Л<0, К<0 имеем ср(Л, У)0; отсюда получим

R = Z~-p\{X, pYXZ.

Так как Z->- - оо, то величина R должна стать отрицательной, следовательно, любая точка М фазового пространства должна попасть из области /?0 на поверхность R - Q. Аналогичный вывод делаем и для точек области R<Q.

Таким образом, нами доказано, что точка Ж(х), лежащая в области G, двигаясь в силу уравнений упрощенной системы (7.5), либо попадает на поверхность 5 в конечный момент времени х, либо асимптотически приближается к началу координат в случае, когда точка Ж(0) принадлежит прямойА=- К= Z, В силу теоремы о непрерывной зависимости решений от параметра, аналогичный вывод делаем

(7.7)

для системы (7.4), а значит, и для изучаемой системы (7.2); иначе говоря, доказано, что при значении К достаточно большом точка M(f), лежапхая в области Q возможных начальных условий, двигаясь под действием уравнений системы (7.2), попадает на поверхность переключения 5 с ростом t.

3. Далее перейдем ко второй части доказательства теоремы - изучим поведение изображающей точки М {t), попавшей под действием уравнений системы (7.2) на поверхность переключения 5. Для этого перейдем к новой системе координат, где X ч у остаются прежними и вводится координата s = z - ср (jc, j;). Тогда система (7.2) преобразуется в эквивалентную систему дифференциальных уравнений

х=у, j> = s-f ср(х, з;),

s = ~y{x,y)s - Fix, у, S-f ср (X, j), О-

- ?i (х, у) у - ?у (х, у) ср (х, у) - лКх,

(а = sign xs).

При таком преобразовании координат поверхность переключения z = (f{x, у) переходит в плоскость переключения 5 = 0. Поэтому, исследовав судьбу изображающей точки, попавшей под действием уравнений (7.7) на плоскость s = 0, сможем сделать соответствующие выводы о поведении изображающей точки системы (7.2) на поверхности 5. На плоскости 5 = 0 величина s запишется в виде

5= -аКх - Ф{х, у, t), (7.8)

где введено обозначение

Ф(х, у, t) = F(x, у ср(х, у), 0 + ?И. У)У +

-f ср;(х, з;)ср(х, у).

Обозначим через D область плоскости 5 = 0, порожденную концами дуг траекторий, выходящих из области О. Из предыдущей части доказательства следует, что область D является при /<-» оо равномерно ограниченной областью. В самом деле, преобразование (7.3) переводит область О в область Ор, причем легко видеть, что при р, будем иметь Gp, 3 Ор2- Точки областей Gp, и Gp, двигаясь по траекториям системы (7.5), перейдут в точки областей Dp, и D, лежащие на плоскости 5 = 0, причем DfZD. Принимая во

внимание теорему о непрерывной зависимости решений от параметра, мы можем сделать вывод об ограниченности области, состоящей из точек поверхности S, пришедших из области Ор по траекториям системы (7.4). Возвращаясь к старым координатам, получаем ограниченность области D при

В силу сформулированных выше предположений относительно функций F(x,y, Z, t) и cp(jc, у) будем иметь в области D соотношение

\{х, у, t)\<Cm. (7.9)

Из равенства (7.8) легко видеть, что прямые дг = Адг и jc = -Ajc, где Дх = , выделяют на плоскости s = 0 полосу 1I = Ддг, вне которой знак производной s для системы (7.7) определен соотношением signs = - asignjc. Анализ этой формулы показывает, что точки плоскости s = 0, расположенные вне указанной полосы, являются точками скольжения системы (7.7). Движение изображающей точки Ж (t) из этой части плоскости s = О (вне полосы лг = Дх) определяется предельным дифференциальным уравнением х = ср(лг, X), которое эквивалентно системе дифференциальных уравнений

х=у, pf{x,y\ (7.10)

Внутри полосы лгг=5Ддг плоскости 5 = 0 знак производной S не определен. Полоса содержит области «прошиваемости», ограниченные кривыми

Ф(дг, у, t)o.Kx = Q, (7.11)

где траектории системы (7.7) с ростом времени пересекают плоскость 5 = 0.

Таким образом, изображающая точка М () системы (7.7), попав на плоскость s = 0, движется по ней в силу уравнений системы (7.10) до тех пор, пока не попадет в момент времени = 00 на границу области прошиваемости, т. е. на одну из кривых (7.11), в некоторой точке 7Ио(ло> Jo)- Сам факт попадания обусловливается устойчивостью в целом нулевого решения системы (7.10). Эта устойчивость вытекает из выполнения условий Ь) для функции f{x, у) (см. пример 4 в § 14 первой главы). Затем с ростом t изображающая

4 Е. А. Барбашин