с другой стороны, функция V- -[-у дает нам при-

мер функции, линии уровня которой --\-у==:с при

с1 неограничены, а при 0<с<1 замкнуты и ограничены (рис. 1).

Однако заметим, что если определенно положительная функция V является неограниченно растущей при х->-оо, т. е. для любого числа АО можно указать сферу вне которой будем иметь А, то поверхности уровня этой функции будут ограниченными поверхностями.

§ 4. Теоремы Ляпунова об устойчивости

Дадим теперь ряд достаточных признаков устойчивости, в основе которых лежит понятие функции Ляпунова. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

f; = ;,(x„ х„), 1=1.2..... п, (4.1)

правые части которой Xi (xi, ..., х„) непрерывны и удовлетворяют условиям Липшица в некоторой области D фазового пространства, включающей точку 0(0.....0) вместе

с ее некоторой окрестностью. Предположим выполненными условия Xiip.....0) = 0, тогда точка О будет особой точкой системы (4.1) или, что то же, положением равновесия этой системы. Правые части системы (4.1) в рассматриваемом случае мы полагаем не зависящими явно от t, т. е. считаем систему автономной.

Теорема 4.1 (теорема Ляпунова об устойчиво с т и). Если для системы. (4.1) существует в области D знакоопределенная функция v, производная которой по времени i), взятая в силу системы (4.1), является знакопостоянной функцией знака, противоположного знаку функции V, то положение равновесия устойчиво в смысле Ляпунова.

шара. Такая возможность реализуется, например, для функции

§4) ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ 21

Докажем теорему. Будем обозначать через внутренность шара радиуса s с центром в точке О, через 5 - сферическую поверхность этого шара.

Пусть для определенности v будет определенно положительной функцией. Предположим s таким, что лежит в области D, и пусть /-минимальное значение функции v на сфере 5. Выберем положительное число 8 таким, чтобы в точках шара выполнялось неравенство f</ и пусть р - произвольная точка из J. Рассмотрим траекторию f(p, t), выходящую из точки р, и допустим, что она пересечет сферу

5j в некоторой точке q. Так как г> = О, то

функция V не возрастает вдоль траектории и поэтому будем иметь v{q)v(p)<l. С другой стороны, так как /-минимум функции V на S, то должно выполняться неравенство v(q)l. Полученное противоречие доказывает, что точка fip, t) не выйдет с ростом времени за пределы сферы Теорема доказана.

Покажем теперь, как можно использовать схему доказательства теоремы для оценки области допустимых возмущений. Областью допустимых возмущений данной области О называется такая область Е, что все траектории, выходящие из ее точек, не выходят за пределы области О. В данном случае, очевидно, область будет областью допустимых возмущений для области J. Таким образом, для определения области допустимых возмущений необходимо найти минимум / функции V на границе области О, и в качестве области Е взять область, в которой выполняется неравенство f</.

Теорема 4.2 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если для системы дифференциальных уравнений (4.1) существует знакоопределенная функция V, полная производная которой по времени, найденная в силу системы (4.1), будет также знакоопределенной, знака противоположного с v, то положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Докажем теорему. Пусть для определенности функция v будет определенно положительной функцией. Пусть число R таково, 410 Jj лежит в области D.

22 метод функций ляпунова гл. 1

Так как из предыдущей теоремы следует, что положение равновесия будет устойчивым, то существует такое гО, что если точка р лежит в 7, то точка /(/?, t) не выйдет из щара Пусть s - положительное как угодно малое число. Согласно предыдущей теореме снова можем указать число 80, такое, что из рСЛ будет следовать /(/?, ОСЛ "Р" 0. Пусть точка р лежит в J. Предположим, что точка /(/?, t) не попадет при в щар J. Тогда полутраекто-

рия /(/?, t) при будет лежать в щаровом слое Jj\J.

Так как в этом щаровом слое имеем v<0 всюду, то существует постоянная /иО, такая, что будем иметь v<-m во всех точках указанного слоя. Из равенства

(/(Р. t))=v(p)-\-\vdt о

мы немедленно выводим неравенство

(f(p, t))<v(p)-mt. (4.2)

Если t растет неограниченно, то правая часть неравенства становится отрицательной, что и приводит нас к противоречию, так как в левой части этого неравенства стоит значение функции Ляпунова, которое не может стать отрицательным. Таким образом, чтобы уничтожить противоречие, мы должны допустить, что точка f(p, t) попадет в некоторый момент в щар Уа, но число 8 выбрано так, что, попав в J, точка /(р, t) не сможет уже выйти за пределы J. Так как s было взято произвольным сколь угодно малым числом, то отсюда следует, что lim f {р, t) = 0.

Теорема доказана.

Покажем теперь, как можно использовать схему доказательства последней теоремы для оценки времени переходного процесса. Временем переходного процесса назовем время t (р, е), необходимое для того, чтобы точка р, двигаясь по траектории f(p, t), попала в заданную окрестность J, точки О и при tt(p, s) там оставалась.

Пусть число / будет минимумом функции v на сфере 5а. Если f(p, о)СЛ> то при tt будем иметь f (р, t)ClJ. Но, очевидно, число можно найти из равенства v(j)) - mt,) =

- I, так как при = от~ " часть неравенства (4.2)