Пусть для определенности yj 0. Величина ад (yj, ... • ••.Ул-2) постоянна и поэтому имеет определенный знак или равна нулю. Пусть aiyl, ул2)0. Из соотноще-ний (10.2) следует, что в этом случае о(у1, .,yn-i) =

Таким образом, имеем ojO в области з] 0 и в области аО, ajO. Следовательно, в этих областях действует система

dx - У-

(10.17)

В области at<0 и в области а, <0, a,j<0 действует система

rfx dx ~У-

Таким образом, линия переключения системы (10.4) является ломаной ABCEF (рис. 15). Если 03(3,5, ..., 2)< О, то линией переключения будет ломаная ABDEF. На рис. 15 показан вид интегральной кривой системы (10.14) в случае аз > О, > О,

<0.

Точка М, двигаясь по параболе в силу системы (10.16), попадает на прямую CF и скользит по ней до точки С. Из точки С движение далее происходит по параболе в силу системы (10.17) до точки j-, лежащей на прямой 02=0. В точке Pi происходит переключение и в дальнейшем движение происходит по предельному циклу РуРСР-

Мы описали сейчас быстрое движение системы. Диаметр рассматриваемого предельного цикла, очевидно, является величиной одинакового порядка малости с v. Кроме того, с (медленным) убыванием величин yj, ул-2 вдоль траек-

Рис. 15.

тории диаметр предельного цикла также убывает. Отсюда следуег, что если система (10.9), описывающая скольжение второго порядка, устойчива, то будет уст ойчивой и система (10.1).

§ 11. Пример системы третьего порядка с форсированным скользящим режимом

1. Рассмотрим уравнение третьего порядка

х-[-ах -[-Ьхсх= - (1.Кх, (11.1)

эквивалентное системе

х=у, y = z, i = - сх-by - az - пКх. (11.2)

Пусть параметры а, Ь, с, К будут произвольными постоянными, причем коэффициент К положителен. Величину а определим по формуле

а = sign [хА sign х{у Dx) By z\x, (11.3)

где А, В, D - положительные постоянные.

Таким образом, величина а можег изменить знак на одной из плоскостей:

х = 0, 7(х, y)=y-[-Dx = 0,

R, (X, у, z) = Ax-Byz = 0,

Ri{x,y,z)=-Ax + By + z = 0. (11.4)

Поверхность переключения составлена из плоскости x = Q, поверхности S, когорая состоит из частей i, S-i плоскости

==0, час гей S, и плоскости Я2 = 0, и частей 7, и плоскости Т (х, у)= у -\- Dx=Q (рис. 16). Точки поверхности 5, для которых y-[~Dx90, удовлетворяют, очевидно, уравнению

R (X, у, Z) = Ах sign x(y-{-Dx)-{-Byz = 0. (11.5)

Поверхность 5 и плоскость х = 0 делят фазовое пространство на четыре области. О,, О, О», Q4, определяемые соответственно неравенствами

область О,: х>0, R>0

область О: х<0, RQ,

область Q3: х<0, R<0,

область Gi,: хО, R<0.

Очевидно, имеем !х= 1 в областях Gi и О3 и а = -1 в областях Ga и G4.

На поверхности 5 вблизи прямой NiON по которой пересекаются плоскости /?i = 0, кч = 0 и х - 0, выделяются секторы LjOLi и LgOLj, в которых траектории системы (11-2) «прошивают» поверхность 5. Можно показать, что путем выбора достаточно большого К углы этих секторов можно сделать как угодно малыми. Во всех остальных точках поверхность б является поверхностью скольжения. Плоскость х==0 является «прошиваемой» плоскостью.

2. Теорема 11.1. Если параметры А, В, D положительны и ККф где /Со - достаточно большое

число, то все решения системы 2) обладают свойством lim X (О = Ит у {t) = lim Z (t) = 0.

/-*оо /=со t~*-oo

Наибольший интерес представляет поведение траекторий в случае, когда выполнены неравенства

5 4Л<0, D<0,5 (5 + "Кв + 4Л). (11.6)

Этот случай, являющийся наиболее трудным, мы и рассмотрим подробно в дальнейшем. Типичное поведение траектории при выполнении неравенств (11.6) описывается следующим образом. Произвольная точка фазового пространства либо попадает через конечный промежуток времени на поверхность 6, либо за бесконечный промежуток времени непосредственно в начало координат. Если точка М попадет на части 5i или 5з поверхности 5, то в дальнейшем она будет двигаться в силу системы

х=у, р=~Ах - Ву (11.7)

по спиралевидной кривой, пока не дойдет до плоскости Т==0. Пройдя плоскость 7" = О, точка ТИ должна попасть, например.

Рис. 16.