Пусть Z ф - решение задачи i = A{t)z-}- и (t), z (т) = = у(т). Так как при tz y{t) = z{i), то limsup [j г (?) = е.

Если x(t) - решение задачи (4.1), то x(t) - z{t) будет ограниченным решением уравнения (5.7) и но теореме 5.5 будем иметь lim II X (О - z{t)\\=0. Следовательно, имеем также

lim sup х(0гЕ, и так как s - произвольное число, то

(-►со

получаем требуемый результат.

Теорема 5.6. Пусть A{f) удовлетворяет условию (5.13). Если для всякой функции и (t) d В (где В - одно из пространств С, С, Мр, 1 ==5/7<оо, Lp, 1<уРбсю) задача (4.1) имеет ограниченное решение, то нулевое решение уравнения (5.7) экспоненциально устойчиво.

Рассмотрим сначала случай B = Cq.

Пусть

sup \ \\ А (s) \\ ds = Ai<со. to {

Проводя те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 5.5, примем 1(1=1. Получим тогда

A(i„)=£Sexp(Ai4-A-) max(l. К).

Таким образом, неравенство (5.8) будет справедливо. Очевидно, точно так же устанавливается справедливость теоремы при fi = C, B = L, В = Мр, l«SjP<oo.

Пусть теперь B = Lp, 1 </7<со. Повторяя доказательство теоремы 5.4, примем т(=1. В силу (5.13) получим

N(t,) = ехр (Л, -f qKp) max (1, Крк (а)) = N,

откуда согласно (5.14) следует

\\y(t) IIP(-o) IJ()II.

р(0 = Лехр(-ai/9) и limp (0 = 0.

(-*со

Требуемый результат следует теперь из леммы 5.4.

Рассмотрим теперь случай, когда u(t)ClL.

Теорема 5.7. Если для всякой функции u(t) L задача (4.1) имеет ограниченное решение, то любое решение

у (t) уравнения (5.7) удовлетворяет неравенству

\\yit){\N[\yit,)\\, (5.21)

где N не зависит от tij.

В самом деле, пусть выбраны числа Osg:/,,,, и 0<8sg -0- Положим -(0=1 при ttst,i-Ab, (t)-0 вне указанного промежутка. Пусть и (t) = f (t) \\ у (t)\\у (t). Очевидно, функция u{t) принадлежит L и i;i=8. Следовательно, по условию теоремы

xit)=y(t)liis)\\y(s)\\-4s

является ограниченной функцией. В силу леммы 5.1 имеем

II X (О II N11 »i = A5-

Так как

\\x{t)\\ = \\y{i) Wilis) \\y{s)\rds=

to + o

-\\yit)\\ \ lis)\\y{s)Vds

при >o--8, TO

II X (ti) \\ = \\y (h) {{"l T is) II У (s) V ds Л8.

При 8 - 0 получим

\\y(tx) 1Ь(о)Гм

откуда в силу произвольности г, и следует требуемый результат.

Очевидно, теорема 5.7 допускает обращение. Если выполнено условие (5.21), то при u{t)(ZL задача (4.1) будет иметь ограниченное решение.

4. Приведем некоторые примеры.

Пример 1 (Л. Массера, Д. Шеффер [94]). Рассмотрим ряд отрезков J„ = [n - е-"-, H-4-e-"j, «=1, 2, ... и определим функцию X{f), полагая X(t)={ вне Х(и) = е". На каждом из отрезков J„ определим функцию л (t) так, чтобы выполнялось неравенство l\{t)e. Очевидно,

функция Х(0 может быть построена так, что она будет непрерывной и дифференцируемой при 0.

Рассмотрим линейное однородное уравнение, решением которого является функция у (t) = e(k(t))~. Так как

3; (« -f е («))-> = ехр (2« - е-") со,

то решение y(t) не может удовлетворять неравенству типа \y{t)\N\y(tQ)\, где yV не зависит от t, тем более у (О не может быть связанным неравенством типа (5.8).

Если n{t)ClLp, l<[/7sgco, то решение соответствующего неоднородного уравнения

W = r(J (s)M(s)flfs

будет ограниченным.

В самом деле, используя неравенство Гёльдера, получим

t со

\x(t)\ е- \е\и (s) \dse-\ el (s) \ и [s) \ ds 0 я=1 j„

=S 9 - /41 « 1 p + "41 « lip S e" exp (n + e- [2е~У/я

II " llp{ 4- + 21 exp (2л + е-") (2e-«0"}.

Очевидно, x(OI будет ограниченной функцией, так как последний ряд сходится при любом q.

Таким образом, в формулировке теорем 5.4 и 5.5 невозможно полагать величину N{1) не зависящей от о- Чтобы получить это ценное свойство независимости, необходимо либо наложить ограничение типа (5.13) на A{t} (теорема 5.6), либо ограничиться случаем /7=1, как это сделано в теореме 5.7.

Пример 2 (Л. Массера, Д. Шеффер [94], О. Перрон [101]). Рассмотрим уравнение

i-f (а - sin ln{t- 1) -cosln(i-f \))x = it{i), (5.22) где 1 < a < 1 4~ fi-". Очевидно, имеем \a - sin In {t 1) -