Рассмотрим в Е уравнение

U=A(t)U, (2.22)

где U{t) - операторная функция со значениями в Е. Пусть U{f) - решение уравнения (2.22), удовлетворяющее условию U{Qi) = l. Покажем, что существует обратный оператор U (t). Обозначим через V{t) решение уравнения

V= - VA (О, (2.23)

также удовлетворяющее условию V(0) = /. Полагая Wi{t) = = V{t)U{t), находим

W, it)= Vit) Uit)A- Vii) U{t) VAU- VAU=0.

Следовательно, it) - постоянный оператор и равен /. Пусть Wi{t)=U{t)V{ty, имеем

щ (t) = AUV~ UVA = AWi~- WiA.

Так как этому последнему уравнению удовлетворяет решение W4 = l, то всякое другое решение, определяемое условием W2(0) = /, должно в силу свойства единственности совпадать с этим решением. Таким образом, Wi{t)=I и UV= VU=1, что и .требовалось доказать.

Введем обозначение W{t, t) = U (t) U {to)- Операторную функцию W{t, to) будем называть оператором Коши. Отметим одно важное свойство оператора Коши:

Wit, ti) Witi, to)= W(t, to). (2.24)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что решение уравнения (2.21), удовлетворяющее условию x{t = Xo, может быть записано в форме

х(0= W{t, to)Xo. (2.25)

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

x = A{t)x-\-u (t), (2.26)

где и (t) - функция со значениями в Е.

Решение этого уравнения можно получить по формуле Коши:

X {t) =: W{t, t,) Xo -I- 5 W{t, s) и (s) ds. (2.27)

I II Wit, t,) d

то получаем

at и Wit, «*S Л(0 II Wit, «.

Решая последнее неравенсгво, получим (2.28).

Неравенство (2.28) показывает, что линейный оператор Wit, to) является ограниченным оператором.

Заметим, что все предыдущие рассуждения остаются справедливыми, если вместо непрерывности по t операторной функции Ait) потребовать интегрируемость Л(0 на любом конечном интервале.

Отметим также, что наиболее полное описание линейных систем в конечномерном случае дано в монографиях Н. П. Еру-гина [78,79].

§3. Примеры дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений в евклидовом пространстве. Пусть npocipanciBO Е является конечномерным векторным пространством. Норма в этом пространстве может быть введена, например, одним из способов (1.3), (1.5), (1.7). В § 1 указывалось, как следует определять норму матрицы в соответствии с введенной нормой вектора

Справедливость формулы Коши также устанавливается непосредственной проверкой.

Заметим, что функция и (t), как правило, в приложениях является разрывной или даже обобщенной функцией. В этих более сложных случаях формула Коши будет справедливой, если только дать более широкое толкование интегралу, стоящему в правой части формулы (2.27).

Отметим еще одно важное неравенство, которым мы воспользуемся в дальнейшем:

II Wit, t,)\\exp[ \\Ais)\\ds. (2.28)

Справедливость этого неравенства устанавливается следующим образом. Так как имеем U7(i, i„)= Л (О Vl7(i, о). и так

Уравнению (2.26) соответсшует в нашем случае линейная система

±i = Yai„{t)x-\-Ut{i), /=1, 2, л. (3.1)

Матричное уравнение (2.22) определяет фундаментальную матрицу U{t), знание которой и позволяет найги решение по формуле Коши (2.27).

Легко видеть, что если коэффициенты ai{f), входящие в систему (3.1), не зависят от то U{t - о) также является решением уравнения (2.22). Но так как U{t - о)и W {t, о) - = и (О (о) являются решениями уравнения (2.22) п обращаются в единичную матрицу при tt, то в силу свойства единственности имеем W{U t„)=U{t - t„).

2. Счетные системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим пространство 1, элементами которого являются все такие числовые последовательности (Xj, Xi, х„, ...),

что ряд 2 - сходится, в можно рассматривать счетную систему дифференциальных уравнений

= S а,* (О X, (О + Ii (t), /=1,2,... (3.2)

Решением системы (3.2) будет являться бесконечная последовательность функций (Xi{t), X2(t), ...). Фундаменгальному оператору Коши соответствует бесконечная матрица.

Счетную систему (3.2) можно рассматривать также в пространстве т с нормой II X I) = sup I х I . Многочисленные

исследования вопросов устойчивости решений счетных систем дифференциальных уравнений, а также уравнений, заданных в банаховом пространсше, проведены К. П. Персидским и его учениками [80, 81].

3. Интегро-дифференциальные уравнения. Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение вида

-ig= ЛГ(Х, S, t)f(s, Ods + Xtp(x, 0 + «(х, t), (3.3)

где функции К(.х, s, t), ii(x, f) полагаем непрерывными