Здесь pi-i-2, а cpj-*.it/3 при (« = 0, 1, 2, 3).

Обозначим соответственно, через Tq, т,, т, tg наименьшие положительные нули уравнений (9.35) - (9.38).

Легко проверить, что 1 - cos cpj О и 1 - р cos срз О суть малые величины порядка р, а 1 - pi cos cpi < О суть малая величина порядка р. Отсюда следует, что величины (/=0, 1,2, 3) удовлетворяют неравенствам

0<то<хз<т,<т,. (9.39)

Возвращаясь к старым переменным, в согласии с неравенствами (9.39) заключаем, что траектория точки М, принадлежащей сектору прошиваемости на части поверхности переключения, при Хо<0, не выходя из области G, в некоторый конечный момент t попадает в область скольжения на части поверхности 5.

Если же Хо = 0, то р(т) обратится в нуль раньше, чем Ti (у), а Ti (т) обратится в нуль раньше, чем X (т) и (т). Поэтому и в случае Хо = 0 траектория точки за конечное время, не выходя из области G, пересечет часть поверхности переключения в области скольжения.

Отсюда следует, что траектории начальных точек Mq области Gs, выходящие из области G в область Gi ниже интегральной плоскости (9.13), за конечное время t, не выходя из области Gi, попадают на часть поверхности 5 в область скольжения.

Итак, доказано, что для каждой начальной точки М, принадлежащей замыканиям областей Gi и G, изображающая точка M(t), двигаясь в силу уравнений системы (9.2), при t - oo стремится попасть в начало координат.

Для областей G3 и G4 можно провести аналогичные рассуждения, а потому для любой начальной точки Mq, взятой в трехмерном пространстве, изображающая точка M{t), двигаясь в силу уравнений системы (9.2), при оо стремится к началу координат. Теорема доказана.

Проверка задачи на модели МН-14 показала, что при с = 0 и положительных значениях b значение величины 6 несущественно влияет на качество переходного процесса. Поэтому оказалось желательным искать другие пути улучшения динамических свойств рассматриваемых систем. Одним из гаких nyiett оказался прием форсирования скользящих режимов в системах с переменной с1руктурой.

§ 10. Система с форсированным скользящим режимом

Достаточно высокая скорость протекания переходного процесса в системах с переменной структурой обеспечивается отчасти за счет понижения размерности фазового пространства системы, так как переходу в скользящий режим соответствует переход движения точки фазового пространства в движение по некоторой поверхности скольжения, имеющей низшую размерность.

Естественной кажется мысль ускорить протекание процесса скольжения путем организации нового скольжения вдоль поверхности еще более низкой размерности. Таким образом, понижая последовательно размерность поверхности скольжения, мы должны на конечном этапе получить движение вдоль некоторой одномерной линии. К указанным соображениям приводит также рассмотрение оптимальных систем, так как характерным для протекания оптимального процесса является также последовательное понижение размерности многообразий, по которым движется точка фазового пространства.

Очевидно, процесс скольжения описывается системой дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Так как уравнение поверхности скольжения после обычного перехода от координат к производным переходит в дифференциальное уравнение, описывающее процесс скольжения, то отсюда следует, что для наличия скольжений более высоких порядков, основная (л-1)-мерная поверхность скольжения должна быть разрывной.

Таким образом, организация чистого (идеального) скольжения более высокого порядка оказывается невозможной. Можно получить только неидеальное скольжение, характеризуемое наличием быстрых движений точки фазового пространства в окрестности поверхности разрыва. Пренебрегая этими бысфы-ми колебаниями и фиксируя внимание на медленном движении точки фазового пространства, можем свести рассмотрение процесса неидеального скольжения к рассмотрению процесса идеального скольжения, описываемого уравнением более низкого порядка.

Таким образом, всякий режим неидеального скольжения рассматривается нами как режим идеального скольжения с точностью до быстрых движений. С этой точли зрения основную исследуемую систему дифференциальных уравнений

будем рассматривать как систему, описывающую неидеальное скольжение. Пренебрегая быстрыми движениями, получим систему, описывающую скольжение первого порядка. Разделяя в новой системе быстрые и медленные движения, получим систему (л-2)-го порядка, описывающую скольжение второго порядка и т. д.

Разделение быстрых и медленных движений можно осуществить путем введения малого параметра.

Если после организации скольжения первого порядка следящая система работает удовлетворительно, то нет необходимости введения в системе скольжений второго порядка. Если же переходные процессы в системе совершаются недостаточно быстро, то следует организовать скольжение второго порядка. Таким образом, организация в системе регулирования скольжений достаточно высоких порядков (быть может, до (л - 1)-го порядка включительно) может обеспечить требуемое улучшение динамических свойств системы.

1. Перейдем к определению скольжения т-то порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Xi = Xii, /=1, п- 1,

= - S Okl"

(10.1)

где коэффициенты с - произвольные постоянные при А = 2, л, а величина Coi определяется соотношениями

Со1 = (Ю sign Xioi, 31 = 2 ift-ft

(10.2)

Cm\ = *m (ЛЭ sign XiO„„ a„, = n - m

= 2 m+l.ft-ft. «=1.....tl-\,

ft=. 1

<nl=l> 0„ = ->1.

Здесь К-достаточно большая положительная постоянная величина, (К), b„ i (К) - положительные функции К, причем

Иш Ь1 Ш==0, bi(K)-co, i = 0,l, л-1,