где к и Н-положительные постоянные. Уравнение (6.1) описывает в этом случае систему регулирования с ограничителем на входе регулируемого объекта. При А=оо получаем чисто релейную систему, при /У=со и К конечном получаем класс систем, изученных в предыдущем параграфе.

Важно отметить, что закон выбора величины а, указанный здесь, обеспечивает асимптотическую устойчивость при любом положительном значении К, в то время как ранее требовалось, чтобы величина К была достаточно большой.

2. Изучим теперь рассматриваемый вопрос с более общей точки зрения.

Пусть система регулирования описывается системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

= а,1->1 + • • • -f Я/Л. 1=1, ... , п. (6.8)

Предположим, что характеристическое уравнение системы (6.8) имеет один нулевой корень ил- 1 корней с отрицательными вещественными частями.

Поставим задачу описания возможных методов коррекции системы регулирования, обеспечивающих асимптотическую устойчивость при любых начальных возмущениях. Эта задача представляет интерес, так как в приложениях часто встречаются системы, у которых передаточная функция объекта регулирования имеет нуль в качестве простого полюса. С математической точки зрения метод рассуждения, приводимый нами, аналогичен рассуждениям, проводимым при исследовании вопросов устойчивости в критическом случае одного нулевого корня [1].

Для определенности предположим в дальнейшем, что среди неравных нулю миноров п-1-го порядка матрицы Л, составленной из коэффициентов системы, имеется по крайней мере один, составленный из коэффициентов, входящих в первые п - 1 уравнений системы (6.8).

Наряду с системой (6.8) рассмотрим систему

Xj=aj,x,--...-fai„x„ -а(х„ ... , х,)9,-(х,.....х„),

1=\.....п, (6.9)

где функции <fi (лг,, ... , х„) заданы, а функция а (лг,.....х„)

подлежит определению.

и найдем ее производную в силу системы (6.11)

dv dt

ft = 1 < = I

n n- 1

Наложим теперь дополнительное ограничение на функцию 9, а именно потребуем, чтобы при у=у =.. .=у - 0, уфО выполнялось неравенство bi(fi-\-,..-bif„jb 0. В эгом

Как известно, существует неособое линейное преобразование

у,. = -f...-f i=\, ... , n-l, Ь„фО,

переводящее систему (6.8) в систему дифференциальных уравнений

j> = 0,

Pi=Piiy + ---+Pi.n-ynb i=h ... , л-1. (6.10)

Указанное преобразование переведет систему (6.9) в систему

a(uitpi-f ...-f u„tp„).

Pi = Jl + • • • 4- Pi. n-\ Упл - a (n-Pi + • • • 4- (6-11)

/=1, ... , Л- 1.

Так как корни характеристического уравнения матрицы Р, составленной из коэффициентов pi, i=l, ... , п-1, k =

= 1.....л-1, имеют отрицательные вещественные части,

то по теореме 9.1 первой главы для любой определенно отрицательной квадратичной формы wiy, ... , y„i) переменных у,, ... , y„i существует определенно положительная квадратичная форма г»! (j/j, ... , y„ i) этих же переменных такая, что в силу первых уравнений системы (6.10) получим

5 = 2 ду +•••+/(. п-1 = w{y„ ... , у„ ,).

Рассмотрим квадратичную форму

•viyi.....Уп-i y)="i(yi, ••• . v„-i)4-y

случае условие

я я - 1

sign а = sign 2 (2 +

является, очевидно, достаточным условием асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы (6.9). Так как в правой части в скобках стоит линейная форма переменных yi, ... , y„ i, у, то эго условие, возвращаясь к старым переменным, можно переписать в виде

sign а = sign 2 ((kiXi +... + CknXn) tpft-ft = i

Интересно рассмотреть случай, когда функция а(лг1, ... ... , лг„), представляющая собой управление системы регулирования, принадлежит заранее заданному классу функций.

Пусть, например, функция а удовлетворяет условию IIа II fig 1, и пусть, кроме того, tp, = ср2 = . .. = ср„ i = 0, tp„ = f. Если будем искать функцию а, обеспечивающую наиболее быстрое убывание функции Ляпунова v вдоль тра-екюрий системы (6.9), то получим

a = sign(c,x,-f-... + c„x„)tp(x„ ... , х„).

Таким образом, а будет кусочно-постоянной функцией и при tp=l мы получим чисто релейную систему.

Если положим if = Kx„ при Ах„-еЯ, tp = Яsignлг„ при \Кх„\Н, где А и Н-положительные постоянные, то при а -sign (с,дг,-р...--с„дг„)лг„ получим устойчивую систему с ограничителем на входе.

3. Следуя А. М. Ляпунову [1], укажем сейчас способ построения линейного преобразования, переводящего систему (6.8) в систему (6.10). Определим сначала величину у - = biXi-\-.. .-f-Ь„Хп (Ь„=1) таким образом, чтобы в силу системы (6.8) имело место равенство

п п 1=1 а=1

;ловие .(6.12) приводит к системе уравнений

«1Л+... + «пЛ = 0. ... , п, (6.13)