про.межуюк времени t,t<oo. Итак, сейчас мы доказали следующее утверждение:

Теорема 2.2. Если в области \\х-х,, г <со, tt выполнены условия (2.3) и (2.5), то всякая траектория, не выходящая из некоторой подобласти \\ X - II i *\ продолжима на бесконечный интервал времени tst<оо.

Приведем и другие признаки продолжаемости решений Теорема 2.3. Пусть при \\ х \\ <со, ft выполнено условие

\\Xix,t)\\Li\\x\\), (2.6)

где L (г) - непрерывная функция, обладающая свойством

с dr

L(r)

CO при г -> СХ).

(2.7)

Всякое решение уравнения {2Л) может быть продолжено на бесконечный интервал времени tt<со. В самом деле, так как

\x{t,)\

\\x{t,)\

то имеем L{\\x\

dWxW

от точки

Отсюда следует, что

Беря интеграл вдоль кривой x = x{i x - x{t до точки X в сторону возрастания t, получим

ix\\

II *0 I

Таким образом, если ЦхЦ-оо, то и -оо, что означает продолжаемость решения. Если же величина х остается ограниченной, то решение будет продолжаемым в силу теоремы 2.2.

Теорема 2.4 (М. А. Красносельский, С.Г. Крейн [74) Пусть существует функционал Ф(х), обладающий свойством

lim Ф(х) = оо, *1(Ф(х))

при tt, где через обозначена производная Ф(х)

вдоль траекторий уравнения (2.1), а функция L(r) удовлетворяет условию (2.7); тогда всякое решение уравнения (2.1) будет продолжаемым на интервале tst <оо.

В самом деле, из условия (2.7) снова получаем (2.8). Если лг(-оо, то и Ф(лг)->оо, следовательно, имеем t-co, что означает продолжаемость неограниченного решения.

Из теоремы 2.3, в частности, следуег, что если в Е выполнены условия (2.3) и (2.5) при tt, то всякое решение уравнения (2.1) продолжаемо на полубесконечный интервал времени. Очевидно, для применения теоремы 2.3 в данном случае следует положить L{r) = Lr-j-N.

В заключение приведем теорему, которая значительно обобщает условия существования, данные в теореме 2.1.

Теорема 2.5 (М. А. Красносельский, С. Г. Крейн (74]). Пусть Х(х, t) = Xiix, t)Xi(x, t), где оператор Xi (х, t) вполне непрерывен, т. е. переводит всякое ограниченное множество из D в компактное множество пространства Е, а оператор X.i(x, t) непрерывен в D и удовлетворяет условию

\\Xi(x, t)~X.,(y, t)\\K(t)\\x~y\\.

to + d

Пусть dO, такое, что J K{t)dt< \ и

to - d

d [sup II Xi {X, t) II + sup II Xi {X, 0 II I =£S r.

Тогда существует решение x{t) уравнения (2.1), определенное на отрезке t - dtQ-\-d, и такое, что

X(tQ) = XQ.

Всюду в дальнейшем мы не будем специально оговаривать условия, обеспечивающие существование решений рассматриваемых дифференциальных уравнений, а будем всегда считать эти условия выполненными.

2. Следующая лемма является значительным обобщением леммы 1.1 первой главы.

Лемма 2.1. Пусть u(t) а f(t)-скалярные, неотрицательные, интегрируемые на отрезке tstsst-T функции. Пусть, кроме того, скалярная неотрицательная функция Kit, s) ограничена при t„-= s t stf- Т.

Если имеет место неравенство

uit)f{t)\K{t, s)u{s)ds, (2.9)

то справедливо неравенство и (t) ф (t) при 4 = =sS + Т, где ф()-решение интегрального уравнения

{t)=f{t) + \ K{t, s)<!{s)ds. (2.10)

Лемму 2.1 докажем, следуя ([75j, стр. 64), где рассмогрен случай непрерывных функций u{t), f{t), К (t, s). Обозначив

Ku:=\ K(t, s)u(s)ds,

получим из (2.9)

и < /+ Kf-r K"~4~V KU. (2.1 1)

Пусть \K{t, s) к ж при tsttAr т. Легко доказывается ([76], стр. 23), что

l""l=s;~! 3 \4is)\ds.

Следовательно, \К"и\-0 при я->оо и ряд Tf-fxf-\-4-.. А" /Ч-- • сходится к решению интегрального уравнения (2.10).

Таким образом, из (2.11) имеем u{t)s{t).

Лемма 2.2 (Ю. М. Репин 771). Пусть u(t), f(t)~ неотрицательные интегрируемые на отрезке tftf-\~ Т функции, L - положительная постоянная. Если выполнено неравенство

и (О =sS/(0 is) ds, UtrstoA- Т, (2.12)

то имеет место неравенство

u{t)/{t)L\ e"~f{s)ds. (2.13)

«о