и продолжать в дальнейшем скольжение до нового попадания на границу сектора. Можно показать [34], что свойство устойчивости при указанном нарушении условий скольжения в некотором смысле сохранится, однако подробное рассмотрение этих вопросов мы отнесем в § 7, где будет рассмотрен нелинейный случай.

Выведем теперь дифференциальные уравнения скольжения. Пользуясь правилом, данным в § 1 для определения вектора скорости скольжения, и замечая, что векторы F(у, z, - сх - Кх - by - az) и F~ (у, z, - сх-\- Кх - by - az) имеют одинаковые проекции на ось Ох и на ось Оу, приходим к выводу, что проекция вектора скорости скольжения на ось Ох равна у, а на ось Оу равна z. Таким образом, проекции вектора скорости определяю1ся уравнениями х=у, y = z. Но так как на плоскости 5 имеем г = - Ах - Z?v, то исключая 2, получим соответствующую систему дифференциальных уравнений

х=у, р = ~ Ах - By, (3.10)

описывающую процесс скольжения.

Очевидно, что система (3.10) будет тогда и только тогда асимптотически устойчивой, когда выполнены условия ЛО, В 0. Всюду в дальнейшем эти условия будем считать выполненными.

Следует, конечно, заметить, что система (3.10) описывает идеальный процесс скольжения: реальный процесс скольжения должен описываться значительно сложнее, так как в силу запаздываний переключений, наличия инерционностей и т. д. изображающая точка непрерывно колеблется около плоскости 5 при своем движении к началу координат [65].

§ 4. Стабилизация системы третьего порядка. Устойчивость системы

Учитывая условия (3.5), перепишем систему (3.6) в виде х=у

p = -Ax - Bys, (4.1)

s = -[f(B-a) + aK]x-\.{B-a)s,

и проведем замену переменных = рт, Х = х, Y=py, R = ps, где р =

-g - аХ ~ f f{B - а) X {В - а) R.

(4.2)

Пусть К-достаточно большое положительное число, тогда величину р можно считать малым параметром.

Наряду с системой (4.2) рассмотрим упрощенную систему

dx - dx- Ix - ~ >

Исследуем движения системы (4.3) в области /?>0. Так как в этой области a=sign.Y, то система (4.3) примет вид

Исследуем свойства движений системы (4.4), рассматривая ее во всем фазовом пространстве переменных X, У, R.

Лемма 4.1. Есмг начальная точка (Х,, Уо> о)> RjO, не лежит на прямой Х=- Y=R, то решение системы (4.4), определяемое этой точкой, обладает свойством

Иш Х(т)=: lim К(т:)=Ит /?(т) = -оо.

т-»оо т-»оо т-»оо

Если же выполнено условие Х = - Кд=/?д, то решение системы (4.4) обладает свойством

lim А(т)= lim К(т)= lim R(t) = 0.

в самом деле, из третьего уравнения системы (4.4) следует, что величина R убывает с ростом времени. Предположим, что Иш R(x) = L, и пусть - оо. Если L от-

т-»оо

лично от нуля, то из первого и второго уравнений системы следует, что К(т:)[оо и А(т:)оо при тоо, но тогда-из последнего уравнения выводим, что lim R(z)= - со,

т-»оо

что приводит к противоречию. Если L = 0, то будем иметь

Новая система будет иметь вид

dX \

/?(т)0, откуда следует, что К (т) возрастает. Предположим, что lim Y{x) = Li. Если Z-i не равно нулю, то из первого

т->оо

уравнения системы (4.4) сразу следует, что lim А(т:)-оо,

а из третьего уравнения получаем lim R{x)= - оо, что

снова приводит к противоречию. Таким образом, имеем L= = Li = 0. Но если Z.i = 0, то величина У(х) будет отрицательной и, следовательно, Х{х) убывает. Если lim Х(х) =

Т-.-00

= /-3 7 о, то снова получаем противоречие с предположением, что lim fi{x) ф - оо .

Т->00

Таким образом, имеют место два случая: либо lim R(x) =

= -оо, либо lim Х{х)= lim У{х)= lim R(x) = 0. Впер-

вом случае имеем также lim Л(т:)= lim К(т:)= -оо. Во

втором Случае решение системы (4.4) должно удовлетворять неравенствам

Х(т)>0, К(т)<0, /?(т)>0.

Нетрудно показать, что попадание изображающей точки в начало координат в этом случае может произойти только вдоль интегральной прямой

Х=- y=R (4.5)

системы (4.3) при а= 1. Других траекторий, по которым изображающая точка могла бы попасть непосредственно в начало координат, не попадая предварительно на плоскость R = 0, система (4.3) не имеет. В самом деле, при а=1 решение системы (4.3) имеет вид

X = се--\-(х), К= -Сое -f ср,(т), R = Coe"+ =Рз(),

где ср,- (т) - неограниченные функции. Подбором начальных данных эти неограниченные функции можно исключить из решения; в этом случае и получим единственное частное решение Х = сое~, К= - Со~. /? = сое", соответствующее интегральной прямой (4.5).

Легко проверить, что система (4.3) при а= - 1 траекторий, приходящих в начало координат с сохранением знака X, не имеет. Лемма доказана.