Справедливость леммы непосредственно вытекает из леммы 2.1. Непосредственной проверкой можно в данном случае убедиться, что функция

удовлетворяет интегральному уравнению

Лемма 2.3. Если при выполнении условий предыдущей леммы f{f) является функцией ограниченной вариации на отрезке tstst-- Т, то из неравенства (2.12) следует

u{t)f{t,)e---\-\ /-V/(s), (2.14)

где интеграл в правой части есть интеграл Стилтьеса. Если функция f(t) дифференцируема, то справедливо неравенство

u{t)me~{ e-Vis)ds. (2.15)

Неравенство (2.14) вытекает непосредственно из неравенства (2.13), если воспользоваться для интеграла, стоящего в правой части этого неравенства, формулой интегрирования по частям, условия применимости которой в данном случае выполнены.

3. Рассмотрим теперь наряду с уравнением

х = Х(х, t) (2.16)

уравнение

Р = Х(у, t)-\-Riy, t). (2.17)

Предположим, что в области D: х г, tttQ-\-Т выполнены условия

\\Х{х, t)~X{y, t)\\L\\x-y\\, (2.18)

II R{x, Oil (0. (2.19)

где 7)(i) - непрерывная функция на отрезке ооЦ- Т,

Пусть будут выполнены условия, которые обеспечивают в совокупности с условиями (2.18) и (2.19) существование решений уравнений (2.16) и (2.17) в рассматриваемой области. Такими условиями могут быть в силу теоремы (2.1) непрерывность операторов Х{х, t), R{x, t) области D и выполнение условия Липшица для R{x, t), или, в силу теоремы 2.5, непрерывность Х{х, t) и полная непрерывность R{x, f).

Пусть x{t) - решение уравнения (2.16), удовлетворяющее условию x(o) = Xo и у {t) - решение уравнения (2.17), такое, что у iU) =уо.

Теорема 2.6. Справедлива оценка: при ttt-j- Т II X it)-у (О II = II X, ~у, II + { (s)ds.

(2.20)

Действительно, из интегральных уравнений

x{t) = x,-\ Х{х, t)dt,

соответствующих уравнениям (2.16) и (2.17), имеем

\\x(t)-y{t)\\\\x,~y,\\ \ {\\X{x, t)~X(y, t)\\ +

+ \\R{y, t)\\\dt.

Используя (2.18) и (2.19), получим II X (О-у (О II = II X, -уо\\ + ( 7) (О dt +

H-Lj \\xit)-yit)\\dt.

Доказываемое неравенство следует теперь из неравенства (2.15). Рассмотрим частные случаи: а). Если 7]()=0, то получаем оценку

\\xit)-yit)\\\\x,-yo li е-К

I yiit)dt = -qi, to

получаем при x„=jo II

d) Пусть

xit)~yit) 17i.(l -H-i"""

Пользуясь неравенством Буняковского-Шварца, получим

\x{t)-y{t) 7].з

Полученные оценки говорят о непрерывности решения по отношению к изменению правой части уравнения (соответственно в метрике пространств С, L, L, см. § 4 данной главы).

4. Рассмотрим теперь линейное уравнение

x = A{t)x. (2.21)

Предположим, что оператор A{t) при каждом фиксированном значении t является линейным ограниченным оператором, и операторная функция А (t) непрерывна по t при tO.

Из теоремы 2.1 будет следовать в этом случае существование и единственность решений уравнения (2.1), а из теоремы 2.3 следует неограниченная продолжаемость всех решений этого уравнения на полубесконечный интервал времени.

Обозначим через Е пространство линейных ограниченных операторов, отображающих Е в Е. Известно (171), стр. 146),

ччо Е будет также банаховым пространством.

из которой следует факт непрерывности решения уравнения (2.16) по начальным данным.

b) Если Xq =Уо и fi{t)при ttt-}- Т, то получаем оценку

\\xit)-yit) 11= (/-"•-1).

c) Полагая