Перенося начало координат в точку x = ic, у = 0, получим систему

X =у, р = Ьх - ау.

Характеристическое уравнение имеет в данном случае вид

l-\-al - b = 0.

При а>0, ЬО корни этого уравнения будут вещественными различных знаков, следовательно, точка (и, 0) является неустойчивой точкой.

2. Рассмотрим теперь уравнение маятника, к которому приложен вращающий момент (см. § 7):

х-\-ах-\-Ь sin xL (11.6)

Рассмотрим случай, когда \ L\<b. В этом случае можно положить L = b sin Хц, и уравнение (11.6) примет вид системы

х=у, р = - b{smx-sin Хо) - ay. (П.7)

Особые точки определятся уравнениями y - Q, sin х= sin х„, следовательно, координаты Хо, К,, особых точек будут иметь вид

Х„ = (-l)*x„ + Ait, Г„ = 0, А = 0, 1, 2, ...

Используя разложение sin х в ряд Тейлора в окрестности точки Хо, запишем систему первого приближения:

х=у, у = - Ь COS Х{х~ Ха)-ау. (11.8)

После переноса начала координат в точку х = ЛГ„, у = 0 получим систему

Х=У, Y= - bcosX„X - aV.

Характеристическое уравнение Х**--аХ--6 cos ЛГо = О этой системы имеет корни с отрицательными вещественными частями, если а>0, ftcosX„>0. Если обусловлено, что аО и 60, то условие устойчивости будет иметь вид cos Z„ > 0.

3. Рассмотрим систему

х=у - ху\ р=-х. (11.9)

Система первого приближения имеет вид х=у, у = 0, откуда следует y=y x=yot -\-х,). Таким образом, нулевое решение системы первого приближения неустойчиво. Однако так как оба корня характеристического уравнения равны нулю.

то мы не можем на основании теоремы 11.2 сделать вывод о неустойчивости нулевого решения системы (11.9). Более того, нулевое решение полной системы будет даже асимптотически устойчивым. В самом деле, производная функции

Ляпунова v = x.\--y в силу системы (11.9) имеет вид

г1 = - х*у и, следовательно, будет знакоотрицательной. Легко убедиться, что координатные оси х = 0, у = 0, на которых функция ii обращается в нуль, не содержат целых траекторий, за исключением нулевого положения равновесия. Таким образом, здесь можно применить теорему 5.2, из которой следует асимптотическая устойчивость.

§ 12. Устойчивость в целом

Рассмотрим систему

= Х(х) (12.1)

при условии АГ(0) = 0.

Определение 12.1. Нулевое решение системы (12.1) называется устойчивым в целом (или устойчивым при любых начальных возмуиениях), если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если всякое другое решение x{t) системы обладает свойством х()->-0 при too.

Функцию Ляпунова v назовем бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует положи-

тельное число R такое, что вне сферы = R имеет ме-

i= 1

сто неравенство vA.

Так, например, определенно положительная квадратичная форма будет бесконечно большой, так как будем в силу (10.3) иметь Xjr » s£ X„r где XjO, а г - радиус-вектор точки.

Функция v==. , а -\-У определенно положительная, но 1 -х

не является бесконечно большой, так как при уО и х-оо функция V не стремится к бесконечности.

Поверхности уровня бесконечно большой функции являются ограниченными.

В самом деле, рассмотрим какую-либо поверхность уровня v = c. Для данного с можно указать шар радиуса R,

вне которого будем иметь vc и, следовательно, поверхность v = c будет лежать внутри этого шара.

Теорема 12.1 (об асимптотической устойчивости в целом). Еслп существует определенно положительная бесконечно большая функция v, имеющая определенно отрицательную производную во всем пространстве, то нулевое решение системы асимптотически устойчиво при любых начальных возмущениях.

Эта теорема допускает обращение и является частным случаем следующей более обшей теоремы [6].

Теорема 12.2. Пусть существует бесконечно большая определенно положительная функция v такая, что

<0 вне Ж н иа М, где множество М не содер-

жит целых траекторий (кроме нулевого положения равновесия). Нулевое решение системы (12.1) будет устойчиво в целом.

Докажем теорему. Пусть р - произвольная точка фазового пространства. Из точки р выпустим полутраекторию f{p, t)

(1. 0). Так как О по условию теоремы, то имеем

if(P 0)% Так как множество v{p)v является ограниченным, то полутраектория f(p, t) лежит в ограниченной области и, следовательно, имеет w-предельные точки. Из леммы 5.1 следует, что все (о-предельное множество лежит на одной поверхности уровня v = v.

Рассмотрим два случая. Если v = 0, то поверхность уровня V - 0 является началом координат. Следовательно, все («-предельное множество траектории f{p, t) совпадает с началом координат и мы имеем lim x{t)=0. Так как из неравен-

/ -«оо

ства следует обычная устойчивость в смысле Ляпу-

нова (см. теорему 4.1), то и получаем асимптотическую устойчивость в целом.

Предположим теперь, что vO. На поверхности o = o„ лежит (о-предельное множество Q точки р, состоящее из целых траекторий. Вдоль этих траекторий, очевидно, будем иметь 0 = 0, поэтому множество Q лежит в М. Но по условию теоремы М не содержит целых траекторий, следовательно, предположение, что ф О, приводит к противоречию.

Теорема доказана.