Решение, соответствуюш,ее взятой начальной точке, имеет следуюш,ий вид:

x = c,e* + f,{t), y = c,y.e + f.it), 2 = c.jxV+ срз(0, (9.17) где

Cl = [{f + Ь)х, - 2ху„ + Z,] (([х - -if + х„ = д:(0), j/o ==.У(0). 0 = 2(0)> срг()->0 при -оо, /=1, 2, 3.

Так как CjO для рассматриваемой точки то при

->-сю будем иметь x{t)-co. Таким образом, точка M(t), двигаясь с ростом t по траектории, либо попадет на часть ба поверхности переключения, либо выйдет на плоскость х=0 в той ее части, где уО.

Если же точка M(,{x у z) лежит в области G3 ниже интегральной плоскости (9.15), то для нее имеем Ci<0. В этом случае изображающая точка M{t) не может выйти из области Оз через плоскость х = 0.

Действительно, точка M{t) может выйти из области 0 через плоскость л:=0 лишь в той ее части, которая заключена между следами плоскостей /,=i:0 и (9.15); уравнения этих прямых запишутся в виде z-By = Q и г = 2{у, где В< - 2y при достаточно больших значениях К.

Легко видеть, что в указанной части плоскости х = 0 имеем x=y<Q и, следовательно, х не может перейти из области л:<0 в область лгО.

Подсчитаем теперь изменение функции Ri{x, у, z) = = Ax-\-By-{-z вдоль траектории точки M{t). Согласно формулам (9.17) можно записать

(О = с.еЧ + + IJ) ? (0. где ср()О при оо. Так как с<0, (хО и A-\-B]i.-\-то значение Ri{t) из области положительных значений (Ri (0)]> 0) с ростом t перейдет в область отрицательных значений, а это означает, что точка M{t) при некотором конечном значении f, не выходя из области 0, попадет либо на часть плоскости /2 = 0, либо на часть плоскости /?1 = 0.

Если, наконец, начальная точка Mo(Xo, у z) принадлежит интегральной плоскости (9.15), то изображающая точка M{t), двигаясь по спирали в плоскости (9.15), попадет при

некотором конечном значении t на часть .S" поверхности переключения.

Итак, для начальных точек М, лежащих в области ниже интегральной плоскости (9.15), изображающая точка M(t) при некотором конечном значении t, не выходя из области Оз, попадает на одну из частей или поверхности переключения.

Для начальных точек Mq, лежащих в области 0 на интегральной плоскости (9.15), изображающая точка M(t) при некотором конечном значении t попадает на часть поверхности переключения S.

Если же начальная точка Жо лежит в области 0 выше интегральной плоскости (9.15), то изображающая точка M{t) с ростом t либо попадает на часть S, либо выходит на плоскость л: = О в той ее части, где у 5= 0.

3. Пусть теперь начальная точка A1o(Xq, у, принадлежит области Gi. Если изображающая точка M{t) с ростом t не покидает область Gi, то соответствующее этой начальной точке решение может быть записано в виде

X (О = аё-* -f е {(ц cos pi sin Щ. (9.18)

Легко видеть, что при ф О, т. е. когда точка Жо не принадлежит интегральной прямой х= - yjX = zjl? системы, действующей в области О, точки этой прямой при t-co стремятся к началу координат, изображающая точка M{f) попадет при некотором значении t на плоскость x = Q, если она до этого не попала ни на одну из частей Si и 64 поверхности переключения.

Таким образом, остается рассмотреть только те точки Жо, для которых изображающая точка M{t) с ростом t может покинуть область Gi, пересекая плоскость x = Q.

Допустим, что точка M{t) покидает область G,, пересекая плоскость x = 0 между прямыми z{B - 6Т)у = 0 и z By = 0, т. е. попадает в область Gg. Тогда она за конечное время попадет на часть S поверхности переключения.

Действительно, пусть точка M{t) попадает в область G3 выше интегральной плоскости (9.13). Тогда в согласии с формулой (9.18), точка M{t) за конечный промежуток времени должна покинуть область G3. Поскольку траектория точки

M{t) При выходе из области Оз не может пересечь ни плоскость х = 0, ни интегральную плоскость (9.13), то она неизбежно при конечном значении t пересекает часть S3 поверхности переключения.

В случае, когда точка M{t) покидает область d, пересекая плоскость л: = О между прямыми z -\- By = 0 » z - 2 =0, по доказанному ранее, она, не выходя из области Оз, попадет на одну из частей бз или з поверхности 5.

Если же изображающая точка M{t), покидая область d, попадает на плоскость х = 0 между прямой z - 2-у = 0 и осью Z, то она может вернуться в область О,, пересекая плоскость х = 0 при уО. Поэтому рассмотрим далее движение оси Z вдоль траектории системы (9.2) при а= 1, действующей в области Оу. Поскольку эта система линейна, то для любого момента t образ оси z является прямой линией. Если эта прямая не попадает ни на одну из частей б, и Si поверхности переключения, то она в некоторый момент t снова окажется в плоскости x = 0 и займет положение z = ky, где -%<0.

Покажем, что при достаточно большом К имеет место неравенство /%2, т. е. полупрямая z = ky при у<0 лежит ниже полупрямой z = 2~у. Отсюда будет следовать, что любая точка плоскости = 0, у которой уО, переходя с ростом t с плоскости x=0 в область d, либо попадет на одну из частей или Si поверхности переключения, либо выйдет из области Gi, пересекая плоскость х = 0 между прямыми z-\-{B - 67)=0 и Z-2 у = 0, а тогда, согласно приведенным выше рассуждениям, она за конечное время попадет на одну из частей бз или S поверхности переключения.

Для получения оценки для k найдем в выражении (9.18) значения произвольных постоянных а,, а,, аз, учитывая начальные условия X (0) = О, (0) = О, 2 (0) = Zff. Очевидно, получим

a. = f, a, = ~f, аз = „, (9.19)

где Д = (а -j- Х) -f~ Р- Значение момента Т - времени встречи образа оси 2 с плоскостью х = 0, является корнем уравнения

е-(а + М 7 cospr + sinp7 = 0. (9.20)