-J t

> 5 e/2flfs = 2exp(V3„0{exp(V,/„(e -0)-l}-

С другой стороны, (a- sin lnf„)f„ = (a- l)t„. Поэтому, так как t„-*co иа<1--уe~, получим

(„ - 1)> 2 exp ((1 + i-e-" - a) f„) X

Х{ехр(1<„(е 3 e-)]-l

И, следовательно, x{t„-1)-oo. Таким образом, функция x(t) является неограниченной, следовательно, этот пример показывает, что теоремы 5.4 и 5.5 в общем случае необратимы.

- COS ln(<--I)sga-- j/2, следовательно, А (t) принадлежит С. Решение однородного уравнения имеет вид y(t)=y (0) ее- (о sin 1г1(/ +1)) (/ +1)

и является ограниченным.

Так как у(0)1 j, (t) \ \у(0)\ )(< + !),

то при itO имеем

поэтому выполняется неравенство (5.18) и тем более (5.14) при любых q<Qo.

Рассмотрим далее соответствующее неоднородное уравнение (5.22), полагая u(t)==e-"i-+4 Очевидно, a(t)(ZLp при Ispoo и ифаСф Решение задачи (4.1) имеет вид

X (t) = е-" -sinln(+ ) e-(s-b l)sin In(s+ I)

Положим = n=l, 2, .... Если t„e-"s

<„e , TO - 1 sin In s - и мы имеем

5. Рассмотрим теперь полученные результаты с точки зрения теории автоматического регулирования. В § 1 второй главы уже отмечалось, что всякую авто.матическую систему можно рассматривать как совокупность звеньев, каждое из которых характеризуется оператором, череводяпиш входной сигнал в выходной сигнал. Бы.го отмечено, что в большинстве случаев оператор звена может быть описан с помощью передаточной функции. Пусть и - входной сигнал и х - выходной сигнал, тогда можно записать х = Ф(н), где Ф - некоторый оператор, может быть, и нелинейный. Допустим, в силу некоторых причин сигнал и изменился и превратился в новый сигнал и--Ьи; в этом случае сигнал х тоже изменится и перейдет в х--8х. Очевидно, будем иметь х-{-Ьх=Ф[и-Ьи), откуда следует 8х = Ф (н -- 8;/) - Ф (гг).

Одним из желательных свойств рассматриваемого звена часто бывает свойство нечувствительности по отношению к входному сигналу; это значит, что для любого положительного числа еО можно указать такое tjO, что из неравенства 8г/<С следует неравенство 8х<е.

Таким образом, свойство нечувствительности (или, как часто говорят, свойство инвариантности с точностью до е) состоит в том, что оператор звена Ф является непрерывным.

Если оператор Ф ограничен, то в этом случае всякому ограниченному возмущению входного сигнала и соответствует ограниченное возмущение выходного сигнала х. Это свойство рассматриваемого звена также представляет интерес.

Для линейных операторов, как известно, свойство ограниченности и свойство непрерывности эквивалентны. Если К-\\Ф\ - норма линейного ограниченного оператора, то имеем 8х ==5 АГ Ьи \\.

Очевидно, нечувствительность звена растет с убыванием величины АГ, которую иногда называют коэффициентом усиления звена [102].

Если оператор Ф задан соотношением

х(0 = Ф» = 5 W{t, х) u{z)dz, о

то смысл доказанных теорем сводится к следующему. Рассмотрим в качестве входного сигнала функцию iio[t) = = Хо8 (t - о), где 8 ( - t(,) - функция Дирака. Тогда полу-

чим Ф»о= t(,)Xi). Следовательно, реакция на импульсное воздействие будет в данном случае функцией, являющейся решением задачи x = A(t)x, x(t(,) = x Смысл установленных теорем состоит в том, что из факта ограниченности оператора звена при некоторых дополнительных ограничениях, накладываемых на операторную функцию A(f), выводится суждение об асимптотическом поведении реакции звена на импульсное воздействие.

С точки зрения логической стройности теории наиболее приятными результатами выглядят результаты леммы 5.5, теорем 5.2, 5.4, 5.5 (включая следствие), 5.7, так как в этих теоремах не накладываются дополнительные ограничения на операторную функцию A(t) и асимптотическое поведение реакции на импульсное воздействие целиком определяется реакцией звена на воздействия, принадлежащие тому или иному пространству, т. е. целиком определяется свойствами оператора Коши. К сожалению, как показали примеры, приведенные выше теоремы 5.4 и 5.5 необратимы.-

Теоремы 5.1, 5.2, 5.6 дают условия, при выполнении которых ограниченность оператора Ф влечет за собой экспоненциальную устойчивость свободной системы. Экспоненциальная устойчивость линейного звена очевидно эквивалентна равномерной асимптотической устойчивости [8].

В теоремах 5.3 - 5.5 из свойства ограниченности оператора выводится свойство асимптотической устойчивости, которая может быть и неравномерной.

Впервые важность свойства ограниченности оператора Ф указана в монографии [103J. В этой книге устойчивость фильтра непосредственно отождествлялась с ограниченностью соответствующего оператора. Различные аспекты этой новой теории обсуждались в работах Л. А. Заде [104], Р. Кэлмана [105], Т. Бриджлэнда [97].

На наш взгляд, определение того или иного рода устойчивости звена следует связывать с асимптотическим поведением реакции звена на импульсное воздействие. Эта точка зрения соответствует классическому представлению об устойчивости как о внутреннем свойстве системы, характеризующем поведение системы при действии мгновенных возмущений. При этом поведение системы при постоянно действующих возмущениях, конечно, определяется характером устойчивости этой системы, а поведение системы при мгновенных возму-