3. в пространстве Z.2(o> i)

II Ф(о> ti) II sup ( ( II W(t, z) dz)\ (4.11)

§ 5. Задача о накоплении возмущений на бесконечном интервале времени. Теоремы об устойчивости нулевого решения однородного линейного уравнения

1. Рассмотрим теперь задачу о накоплении возмущений на бесконечном интервале времени J, т. е. на полуоси О i<co. Предположим, что внешнее возмущение и(t) принадлежит пространству С, тогда согласно (4.9) имеем неравенство

Ф=5ир(Г(, xjllrfx, (5.1)

оценить максимум отклонения х(0 oi нуля при действии функции t{{t), которую можно трактовать как внешнее возмущение, вызывающее возмущение выходного ситнала x{t).

Сформулированная сейчас задача о накоплении возмущений была поставлена и решалась в конечномерном случае Б. В. Булгаковым [96]. Мы видим, что с точки зрения функционального анализа задача Б. В. Булгакова своди!ся к 01ы-сканию точного значения нормы оператора Ф(о, ti). Однако вычисление ючного значения нормы указанного оператора является обычно трудной задачей. Исключение составляет тот случай, когда функции пространства В являются функциями с числовыми значениями, что cooiseiciByer в нашем случае одномерности фазового пространс1ва Е.

Нетрудно, однако, получить оценки оператора Ф„, t) в некоторых конкретных пространствах. Эти оценки имеют, например, следующий вид:

1. В пространстве С(„, ti)

Ф(„, sup I II W(t, х) dz. (4.9)

2 В пространстве L (i„, i)

\\Ф(to,t,)\\ sup \\Wit,z)\\. (4.10)

\W(t, z)uiz)dz

.K\\u\

что и требовалось доказать.

Лемма 5.2. Если Е - векторное конечномерное пространство и всякому ограниченному возмущению u{t)

где оператор Ф задается соогношением

Фгг= W{t, z)u{z)dz. о

Таким образом, если величина

sup{\\Wit, z)\\dz (5.2)

=эо о

является конечной величиной, то задача о накоплении возмущений имеет решение. Эго означает, чго всякой ограниченной по норме С функции n(t) соответствует ограниченное решение x(t) задачи (4.1).

0казывае1ся, имеет место следующий более глубокий резулыаг.

Лемма 5.1. Если оператор Фм= W(, x)u{z)dz пере-

водит банахово пространство В функций u(t) в пространство С функций X (t), то он ограничен. Это значит, что существует постоянная положительная величина К такая, что

\\х\\сК\\ и\\в.

В самом деле, определим оператор Ф;, переводящий В

в просгрансгво Е, соотношением Фи= W (tz) и(х) dz,

где {t} - последовательность положшельных рациональных чисел, перенумерованных в каком-либо порядке. Если uCZB, то последова1ельнос1ь Фг; ограничена по предположению и, следова1ельно, по геореме 1.1 существует такое КО, чго \i%ri\\K\\u\\B.

Так как для любою вещественного числа tO существует подпоследовательность рациональных чисел t, сходящаяся к , то в силу последнею неравенства получим t

соответствует ограниченное на J решение задачи (4.1), то величина Фо, заданная соотношением (5.2), конечна.

Действительно, в этом случае оператор Коши W {i, т) превращается в матрицу с элементами тц,. Для определенности будем считать, что норма вектора и норма матрицы определены в соответствии с (1.5) и (1.6).

Рассмотрим векторную функцию u (т), определяя ее следующим образом:

Uk(x) = S\gnWii,(t, т),

где через и (т) обозначена -я проекция вектора н (т).

В силу леммы 5.1 существует такая постоянная К, что t

\ \ Wit, x)u(z)dx

при любом tQ, где «(т) рассматривается как элемент банахова пространства Lr„.

Таким образом, для любого i имеем

t п In

I 2 ikii dx= \ \Wi, it, x)\dx K. 0 ft= I 0 fe= 1

Ho отсюда следует, что существует постоянная М. (равная, например, пК, где п - размерность пространства £), такая, что

\\\ W{t, x)\\dzM при любом t. о

Лемма 5.3. Если величина Ф,, конечна и \\ A(t)\\ sAo<i <со на полуоси J, то существует такая положительная постоянная W, не зависящая от t и t, что \\W{t, t)sSWo при Оес:т<<оо.

В самом деле, из соотношения

L uix) и- (.) = (.) ) + f/- (.) о

имеем