Х, = -+(( + 6-лГ>0. (9.28)

Поэтому начало координат для уравнения (9.25) является особой точкой типа седло.

Если точка М (t) движется по интегральной прямой j;= Х,д:, то при оо она стремится попасть в начало координат. Если же точка M{t) движется по интегральной прямой у = },х, то при оо она уходит в бесконечность.

Из условий (9.5) и (9.6) следует, что

- 7"- >: Х„ (9.29)

причем знак равенства в соотношении (9.29) достигается тогда и только тогда, когда он достигается справа или слева в системе неравенств

(х, -7-(х,. (9.30)

Опишем движение точки, попавшей в область скольжения на поверхности переключения.

Из равенств (9.28) и (9.29) следует, что интегральная прямая у=кх уравнения (9.25) не принадлежит поверхности переключения. В силу неравенств (9.30) интегральная прямая y-[Xj.x уравнения (9.24) либо не принадлежит поверхности переключения, либо совпадает с прямой х -\-Ту = 0, принадлежащей эюй поверхности.

Из того же неравенства (9.30) следует, что интегральная прямая у=[).;х уравнения (9.24) принадлежит поверхности переключения и может совпасть с прямой х-{-Ту = 0, при-надлежащ,ей этой поверхности.

Если точка М (t) попала на какую-либо из частей или Si поверхности переключения в область скольжения между пря-{лыми х = 0 и y = },ix, то она за кс.ечное время попадает е

до тех пор, пока не попадет в сектор прошиваемости. Поведение интегральных кривых уравнения (9.25) на фазовой ПЛОСКОСТИ определяется корнями характеристического уравнения

Х + (5 -6Г)Х4-Л -6 = 0. (9.26)

В силу условий (9.5) и (9.6) имеем

Х. = --((Ч9-ЛУЧ0. (9.27)

сектор прошиваемости. Если же она попала на какую-либо из частей .Sa или Si между прямыми y=).iX и Ty-\-x=Q (при - 7" > ll), то она за конечное время попадает на прямую Ту-\-х = 0, прошивает ее и продолжает двигаться уже по части S3 или i, стремясь при -♦• сю попасть в начало координат.

При попадании в область скольжения на какую-либо из частей Si или S3 поверхности переключения, точка M{t), не сходя с этой части, движется по 5 и при --сю стремится попасть в начало координат.

б. Для исследования поведения точки М (t), попавшей на сектор прошиваемости какой-либо из частей ба или Si поверхности переключения, в системе (9.2) произведем замену переменных

t=px, Х=х, Y=py, Z = pH, (9.31)

где р = /<-/8. Тогда получим систему

=У, -l = Z, f=-Xp(-aZ-pbY-p4X);

(9.32)

здесь р играет роль малого параметра, если считать значение К достаточно большим. При такой замене переменных плоскости Ri = 0 и /?2 = 0 перейдут соответственно в плоскости

ri = ApX-\-BpYZ=

Га = -(6-Д)р«Х + (5 -6Г)рУ + 2=0.

При этом области G и G; перейдут соответственно в области Q и (/= 1, 2, 3, 4), причем в новых областях величины X, и Га удовлетворяют таким же неравенствам, что и л:, R, и Ra в прежних областях.

Пусть начальная точка Жо (Xq, j/q, о) принадлежит сектору прошиваемости системы (9.2), расположенному на части S поверхности переключения. При замене переменных (9.31) точка Жо перейдет в точку Z.o(Ao, Y, Z, причем Ао<0, Ко>0 и

Zo = (Л - 6) рХо - (5 - 67) р Уо < 0. (9.33)

Уравнение (9.23) в новых координатах имеет вид [(Л -6)(S -87)рЗ -а(Л -6) р + срЗ± 1] =

= р- [Л - е - (5 - bTf 4- (5 - 67) а - ft] К. (9.34)

Из формулы (9.34) видно, что XjY есть малая величина порядка р. Из соотношения (9.33) следует, что Zo/ Ко есть малая величина порядка р.

Для взятой начальной точки имеем:

qX{x) = re " + е" {[(v + 2av) X, + 2а Ко - Z,] cos фт -{-+ Г h (Ф - - а) X, + (ф ~ - а) Ко -{-

+ (v +o)Zolsin(j)c}

9К(х) = - vre-" + {[v (а» + f) Х +

+ (а + + v) Ко + vZol cos фт + ф"! [- v (а + v) (а + + ф) Хо + а (- + - а») Ко + (а» + f + av) Zo] sin фт },

qZ (т) = vVe-" + с" I [- (a + ф) Xo + 2av Ко +

+ (a + + 2av) Zol cos фт + ф"! [- v (a + ф) (a + ф + + av) + [- (a + ф») + V (a - ф)] Ко + + - ф) V + V (v + ф)] Zo] sin фт; .

Здесь = (a + v) + ф Г = (а5+ф5)Хо -2aK„+Zo и при р->-0 имеем v-> 1, о->0,5, ср-*--j/3/2.

Уравнение (9.22) в новых координатах имеет вид

риК-(1+7]р»)Х = 0,

где /яО и т] - постоянные. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию:

р(х) = р5отК(т)-(1+7]рЗ)Х(х).

Уравнения

Х{х) = 0, ri(x)=r,(X(x), К(х), Z(x)) = 0, Гз(х)=Г,(Х(х), К(х), Z(x)) = 0,

р(х) = 0,

соответственно представим в виде

e- + "* = Лcos(фx-cpo), (9.35)

е-1 + )=Р1С08(фх4-ср1), (9.36)

- ,v + а) . COS (фх + срз), (9.37)

е- + )=рз cos (фх - срз). (9.38)