то имеем

dv dv di dt

где через обозначена производная функции v, взятая

в силу системы (8.7). Таким образом, соотношение (9.2) доказано.

§ 10. Оценка решений линейных систем

Введем сначала одно важное неравенство из теории квадратичных форм. Рассмотрим квадратичную форму v = {x, Вх) и поставим задачу отыскания наименьшего и наибольшего

значений этой квадратичной формы на сфере л: = = г*.

Согласно известным правилам решения задач на относительный экстремум следует искать экстремум квадратичной формы W - V - X (х - г).

Очевидно, корни характеристического уравнения системы (8.7) и системы (9.3) связаны между собой соотношением = Рг--у.

Выберем а настолько малым, чтобы выполнялись условия:

1) Из ReXi>0 следует Rep,>0,

2) Pi + Pft О ни при каких целых 1 и k.

Очевидно, первому условию легко удовлетворить, выбирая а достаточно малым. Замечая, что р; рд, = X,- -- - а. мы можем выбрать а не совпадающим ни с одним из конечного множества чисел Х--Х;, следовательно, можем удовлетворить и второму условию.

По теореме 9.2 существует функция v, принимающая положительные значения, и такая, что в силу системы (9.3)

dv „

- = да. Так как

= { А ~ X grad v = Ax grad v - x grad v, и так как по теореме Эйлера об однородных функциях

xgradt)= dxi~ 1=1

§ 10] ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 39

В точках экстремума должно выполняться условие grad W = grad v - 2Хх = 0.

Так как gTadv = 2Bx, то необходимые условия экстремума приводят нас к уравнению

Вх = 1х. (10.1)

Это уравнение имеет ненулевое решение только в том случае, когда X является корнем уравнения

\B-IE\ = Q. (10.2)

Так как матрица В является симметричной, то ее собственные значения вещественны. Обозначим через X, наименьшее собс! венное число матрицы В, а через Х„-наибольшее собственное число.

Умножая уравнение (10.1) слева и справа на JC, получим v - {Bx, JC) = Xд: т. е. f = Xrl Таким образом, беря в качестве X наибольшее и наименьшее собс i венные числа, выводим неравенство

Х.ггХпЛ (10.3)

справедливое для всех точек пространства.

Принимая г- 1, приходим к выводу, что Xj есть минимальное значение функции v на единичной сфере, а Х„ - максимальное значение.

Перейдем теперь к задаче оценки решений системы линейных дифференциальных уравнений 10)

Рассмотрим сис1ему дифференциальных уравнений

% = Ах, (10.4)

и предположим, что все собственные числа матрицы А имеют отрицательные вещееiвенные числа По теореме 9.1 существует определенно положительная квадрашчная форма f = (.JC, Вх), такая, что в силу системы (10.4) будем име1ь

dv dt

где г= xl (10.5)

С другой стороны, из неравенства (10 3)следуе1 неравенство

Таким образом, время переходного процесса t(p, s), т. е. время, необходимое для того, чтобы величина г стала и оставалась в дальнейшем меньше s, удовлетворяет неравенству

tip, s)<-X„ln.

§ 11. Теоремы об устойчивости по первому приближению

Наряду с системой

W = 2 + = 1. 2, ..., и, (11.1)

рассмотрим систему

= 2 => 2. я. (11.2)

dxi dt

где Х„ Х„ - соответственно наименьшее и наибольшее собственные числа формы V. Таким образом, из соотношений (10.5) и (10.6) следует неравенство

V dv V

dt-~~X„

которое можно записать в виде

Интегрируя (10.7) от нуля до t и обозначая через значение функции V в начальной точке траектории р, получим

Используя неравенство (10.6), получаем окончательную оценку вдоль решения системы (10.4):

0 е-/i у" е- . (10.8)

л„ л,

Неравенства (10.8) могут быть использованы для оценки времени переходного процесса. В самом деле, разрешая относительно t уравнение е~п = е получим t = - Х„1п