выполнялось условие Липшица

II R (х, t)-R{y,t)\\L\\x~y\\. (7.15)

Теорема 7.4. Пусть \\ х„ < S, где S = Н/2В и

supV git) = hpge-\l-e-), 0<р<1. (7.16)

Для решения уравнения (7.13) справедлива оценка \\x{f) \\ Н. Кроме того, можно указать такое х, jXoS, что соответствуюш,ее решение x{t) будет периодическим и асимптотически устойчивым. Всякое другое решение, определяемое начальной точкой из области х 8, будет притягиваться к указанному периодическому решению.

Докажем теорему. Повторяя доказательство леммы 6.1 и используя снова лемму 2.3 (неравенство (2.14)), установим, что

II X(О IK Ве- II X, II + Ве- \ e4v {s).

Используя оценку предыдущей теоремы, получим

\\x{t)\\Be4-\-B-,

откуда, в силу (7.16) следует

11 х (О II < Ве-Ч + pS < (5 + р) S < я.

1 н

с другой стороны, при целом In у- получим \\х{Т) S

и, следовательно, точка переходит снова в S-окрестность точки х = 0. Нетрудно видеть, что в данном случае преобразование х-х{Т) непрерывно и однозначно. Далее, повторяя доказательство теоремы 6.4, можно показать, что указанное преобразование удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений. Отсюда следует существование и единственность периодического движения, которое, правда, может иметь счетное число разрывов. Асимптотическая устойчивость периодического решения устанавливается точно так же, как и при доказательстве теоремы 6.4.

В конечномерном случае последняя теорема была рассмотрена в статье [113J.

§ 8. Задача осуществления движения по заданной траектории

1. Рассмотрим теперь задачу отыскания управления, обеспечивающего точное или приближенное осуществление заданного процесса. Задача ставится следующим образом. Пусть дано дифференциальное уравнение

(8.1)

Рис. 18.

тле x{t), 7\{f), y{t) - функции со значениями в банаховом пространстве Е, функция -цф является, вообще говоря, случайной. Предположим, что в фазовом пространстве Е задана при 0<<;г (0< < Г оо) некоторая траектория л: = ф {t). Предполагая, что поступает некоторая информация об изменении функции 7] (О, играющей роль помехи, требуется подобрать такое управление за счет выбора y{t), чтобы некоторое решение уравнения (8.1) точно или приближенно осуществляло движение по траектории x = i{f) на заданном интервале времени. Задача может быть осложнена ограничением множества возможных значений функции y{t); это множество может, например, быть ограниченным, компактным, иметь конечную размерность и т. д.

Структурная схема соответствующей автоматической системы дана на рис. 18. На этом рисунке О - объект регулирования, назначением которого является получение заданного режима x=:i{t). Чтобы осуществить этот режим вводится звено у, предназначенное для выработки управления н. При формировании управления используется информация об осуществляемом режиме ф(0 и помехе f\{t), причем информация о последней может поступить с искажением в силу ряда причин. Например, такое искажение может наступить в силу появления запаздываний, инерционности в линии связи С, ошибок измерения, случайных ошибок и т. д.

Так как управление рассматриваемой автоматической системы изменяется в соответствии с заранее заданной функцией

времени ф(0, то рассматриваемая система является программной автоматической системой.

Если бы поставленная таким образом задача программного регулирования имела точное решение, то искомое управление определялось бы из уравнения

и {у (О, О = Ф (О - (Ф (0> -ч (О, О (8.2)

Однако уравнение (8.2) во многих случаях является неразрешимым относительно управляющей функции y{t) Неразрешимость указанного уравнения может быть следствием ограничений, наложенных на норму функции у {t), ограничений размерности y{t), наличия неполной или искаженной информации о внепшем воздействии 7j(0 Может случиться и так, что управление можно выбирать только из какого-либо узко очерченного класса функций, например, кусочно-постоянных функций, тригонометрических полиномов и т. д.

2. В уравнении (8.1) проведем замену г=х - ф(0; новое уравнение будет иметь вид

i = Z{z, 7), 04-A(j. ф(0. (0, 0. (8.3)

Z{z, 7), о-(4-ф(0. Mil t)-x{if{t), 7)(О, t),

A(J, ф(0, -nit), t) = X{i{i), -nit), t)-if{t) + u{y, f) = {t).

в уравнении возмущенного движения функция д(0 определяет ошибку приближения программирующей функции, отклонение решения z{t) уравнения (8.3) от нуля совпадает с отклонением решения x{t) уравнения (8.1) от заданной функции ф(0. Основной задачей здесь является оценка 2(г!) в зависимости oi Д(01. Эту задачу в общем виде мы рассма1ривали в § 2, а для случая, когда Z - линейный оператор относительно z, указанная задача решалась в § 4 как задача о накоплении возмущений

Если идет речь об осуществлении заданного режима на бесконечном интервале времени 0<<оо, то, как нетрудно видеть, приближенное решение задачи возможно, если нулевое решение уравнения

i=rZ(z, 7i, t) (8.4)

устойчиво no отношению к постоянно действующим возмущениям, ограниченным по отношению к той метрике, в кою-