г= 1

где Af, - собственные числа указанной формы. Из неравенства Буняковского-Шварца и (11.3) следует

1 = 1

2(/))"-{2«)""-=-™

Предположим, что w - определенно отрицательная форма. Имеем

. - dv

Предположим, что XjiO.....0) = 0 и

2 X!{х„ х„)<(2 (11.3)

,•=1 i = l

где аО, Л - положительная постоянная. Систему (11.2) будем называть системой первого приближения.

Поставим задачу выяснения условий, при выполнении которых из устойчивости или неустойчивости системы первого приближения вытекает соответственно устойчивость или неустойчивость нулевого решения системы (11.1).

Лемма 11.1. Пусть w - знакоопределенная квадратичная форма, V - произвольная квадратичная форма.

функция ~Ь 2 бх- У знакоопределенной, совпа-

дающей по знаку ewe некоторой окрестности начала координат.

Согласно (10.3) имеем

где р, - наименьшее, р„ - наибольшее собственные числа формы W, r = (2 xfj. Так как ()- ioQ квадратичная форма, то имеем

+ 2ё< при ГО.

Если а; о, то получим

+.1>{9г-АКПг> при гфО,

i = I

если только AAnr-cpi.

Теорема 11.1 (теорема об устойчивости по первому приближению). Если корни характеристического уравнения системы первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (11.1) асимптотически устойчиво.

В самом деле, согласно теореме 9.1 существует определенно положительная квадратичная форма v, производная которой в силу системы (11.2) равна -г. Производная

функции V в силу системы (11.1) имеет вид = - r-j-

-\- ."i И согласно лемме 11.1 будет также опреде-(=1

ленно отрицательной. Асимптотическая устойчивость теперь следует из теоремы 4.2.

Теорема 11.2 (теорема о неустойчивости по первому приближению). Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то нулевое решение системы (ИЛ) неустойчиво.

По теореме 9.3 существует квадратичная форма v, принимающая положительные значения и удовлетворяющая соот-нощению

dv о , \ п

=г + аг;, а>0,

Если выбрать такую окрестность, в которой то получим требуемое неравенство

{х-У

запишем систему первого приближения:

х=у, р=Ь(х - Tz) - ау.

где означает производную функции v, взятую в силу системы (il.2). Беря производную функции v, в силу системы (11.1) получим

dv , , I V » 1

но из леммы 11.1 следует, что г"-]- § У опре-

деленно положительной функцией. Неустойчивость теперь вытекает из теоремы 6.2.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Рассмотрим уравнение колебаний маятника

X -\- ах .\- b sin X = 0.

Ему соответствует система

х = у, р = - bsmx - ay. (11.4)

Особые точки этой системы имеют координаты х = кк {k - любое целое число), j; = 0. Используя разложение

sinx = x - -\- ....

запишем систему первого приближения

х = у, у = -Ьх - ау, (11.5)

характеристическое уравнение которой имеет вид

Х4-аХ4-й==0.

Если а > О, 60, то корни имеют отрицательные вещественные части, и нулевое положение равновесия будет устойчивым по первому приближению.

Исследуем теперь на устойчивость точку (it, 0). Используя разложение

sin X = - (л; - и) -- -