R(x, S, t, z)= Кп,(х, s, t, t),

n = 0

Kn+iix, s, t, х)=\К{х, s„ Zy)K„(Si, s, T,, z)dsidxi,

(л=1, 2, ...), Kiix, s, t, х) = К(х, s, z). Можно показать, что R(x, s,t,z) удовлетворяет уравнению

dR (x, s, t, T) *

= J K(x, s„ t)R{Si, s, t, z)dsi, (3.5)

которое соответствует уравнению (2.22).

Естественно рассматривать функцию ср(х, t) при фиксированном i=tn как элемент пространства С нгпрерывных функций с метрикой I) ср (х, to) II = sup ср (х, t) \. Решению ср (х, t)

в области D: {ахЬ, asb, 0:=<оо}. Предположим, что в этой области выполнены неравенства К{х, s, t) \М, I и (X, t)\sm.

Исследованию уравнений типа (3.3) посвящен ряд работ [82-91]. Наиболее точные результаты, касающиеся вопросов устойчивости решений этого уравнения, приведены в работе [85], где широко использовалось представление решения уравнения (3.3) с помощью формулы Коши. В этой работе было показано, что любое решение ср (х, t) уравнения (3.3), удовлетворяющее условию ср(х, о)=ср„(х), может быть представлено формулой

ср(х, 0 = еМ-о)[ср„(х) -ЬП( )is)dsdx]

t tb

to t a

(3.4)

где R{x, s, t, z) - резольвента ядра К(х, s, t), т. е. функция, определяемая соотношением

уравнения (3.3) тогда будет соответствовать в С некоторая траектория. Если нас интересует влияние на эту траекторию «внешнего возмущения» п (х, t), то следует при решении вопроса пользоваться формулой (3.4); при этом не обязательно, конечно, считать и(х, tj элементом пространсгва С, это предположение значительно уменьшило бы ценность исследования. Можно считать, например, ii(x, t) принадлежащей пространству Lp, \ оо. В этом случае можно ставить вопрос о влиянии на решение tp (х, t) возмущений, ограниченных в среднем в том или ином смысле.

4. Системы с неполной информацией. В л-мерном векторном пространстве R рассмотрим дифференциальное уравнение

x=fix, t), (3.6)

где для данного значения t и фиксированного вектора X векторная функция /(лг, t) представляет собой не один вектор, а целое множество векторов из R. Таким образом, функция f{x, t) предполагается многозначной функцией. К системам вида (3.6) обычно приходят, когда нет полной информации о значениях некоторых параметров системы; известно только, что эти параметры могут принимать любое значение из некоторого заданного множества. Назовем подобные системы системами с неполной информацией.

Системы с неполной информацией могут, например, привлекаться для описания регулируемых систем, содержащих звенья с гистерезисными и релейными характеристиками [92,93].

Обозначим через .S некоторое ограниченное замкнутое множество, лежащее в R. Пусть у - некоторое однозначное непрерывное отображение множества S в R. Образ множества ,S, т. е. f (S), назовем S-множеством.

Рассмотрим пространство E{R) всех непрерывных отображений 7> определяя норму следующим образом:

II-Г II = sup h(x) я-

Легко видеть, что пространство E{R) является банаховым пространством и изометрично пространству соответствующих ,?-множеств -{(S), с метрикой (S) = sup )т(д:)/г.

xczS

Поэтому в дальнейшем будем отождествлять элемент у пространства EiR) с .S-множеством лежащим в R. Однако подчеркнем, что .S-множество не следует рассматривать как простое подмножество пространства R, а необходимо приписывать к .S-множеству соответствующее отображение 7. Только в этом случае в пространстве множеств вводится естественным образом линейная операция. Очевидно, следует полагать 7, (S) -\- (S) = 7 {S), если для всякого вектора xClS им еет место f i (д;) -р (х) = y {х).

Пусть теперь - некоторое яг-мерное евклидово пространство, а /(/?) - многозначная функция, определенная на этом пространстве, значения которой представляют собою некоторые .S-множества пространства R. С многозначной функцией /(/?) свяжем однозначную функцию F{p), значения которой лежат в E{R) и определяются по правилу F(p) = -(, если ~f(S)=f(p). Такой подход позволяет нам перенести на многозначные функции все понятия дескриптивной теории функций. Так, например, многозначную функцию f(p) назовем непрерывной, если соответствующая ей однозначная функция F{p) непрерывна. Аналогично можно определить класс многозначных функций, множество точек непрерывности которых есть второй категории. Этим функциям соответствуют точечно разрывные функции F (р), являющиеся пределом последовательности непрерывных функций.

Так, например, релейная характеристика /(x) = signx, с дополнительным условием, что /(0) есть множество чисел из отрезка [- 1,1], оказывается как раз одной из таких функций.

Вернемся теперь к уравнению (3.6) и потребуем выполнения следующего условия.

Пусть X есть .S-множество и пусть /{Х, t)= {) /{х, t);

тогда f(X, t) является при любом t тоже .S-множеством.

В частности, так как всякий вектор х т R есть .S-mho-жество, то, очевидно, f{x, t) должно быть тоже S-mho-жеством.

Наряду с уравнением (3.6) рассмотрим уравнение

X=f{X, t), (3.7)

решениями которого считаются многозначные функции X{t)