Покажем теперь, что Л L. Рассмотрим такое /ц, для

которого У) lioft = > И рассмотрим вектор х" (xJ, ЛГп),

где xg = sign а,-„Аг. Легко видеть, что х" =1 и Л

II Лх" II = 2 I "io* I = L- Таким образом, имеем в этом случае

II л=sup у; (1.6)

Пример 3. Зададим норму вектора формулой

11х= у; х,. (1.7)

Покажем, что для нормы матрицы Л справедливо соотношение:

II Л =sup у; (1-8)

* i=l

в самом деле легко видеть, что

п п п

11 II = S I S ikXk I =s: 11 X II sup 2 I ik I-.=1 *=1 * i = l

Таким образом, Л sgsup lifcl=-

* i=i

Пусть 0 - TO значение индекса, для которого М =

- 2 I "о !• Рассмотрим вектор х с проекциями Х; = 0 при ; = 1

/ 0 и ХАго=1. Очевидно, имеем II X II = 1 и, кроме того,

II Л II II Лх= 2 а,-,„ = Ж. 1=1

3. Рассмотрим теперь случай, когда Е - линейное нормированное пространство и В - банахово пространство. Рассмотрим совокупность всех линейных операторов, переводя-

щйх пространство Е в пространство В; эту совокупность будем обозначать символом [Е В]. Пусть F] и - операторы из [Е-В]. По определению, F = F, если для любого xClE имеем Fx = FiX-}- Fx. Линейные операторы можно также умножать. Пусть Е, Ез - линейные

нормированные пространства и пусть F [Е\->-Е] и Ф[Е-Ез]. Под произведением операций/ и Ф будем понимать оператор ФЕ, переводящий Ei в £3 по правилу ФЕ(х) = Ф(Е(х)), где xEi.

Легко видеть, что справедливо неравенство

II 11=;Ф

Если в пространстве [Е-*-В] ввести норму согласно (1.2), то можно показать, что пространство [Е-В] будет полным линейным нормированным пространством, т. е. банаховым пространством.

В дальнейшем нам понадобятся следующие теоремы: Теорема 1.1 (Банаха - Штейнхауса) ([71]). Если последовательность линейных ограниченных операций {Fn}, переводящих банахово пространство Ei в линейное нормированное пространство Е%, ограничена в каждой точке, т. е. если

sup II F„x II <оо,

то нормы этих операций ограничены в совокупности \\ЕЛМ<с (л=1, 2, ...).

Теорема 1.2 (принцип сжатых отображений ([72])). Пусть оператор F переводит шар Т банахова пространства в себя и пусть выполнено условие

\\Fix,)-F{Xi)\\a\\ Ху-хЛ где 0<а<1.

Уравнение F{x) = x имеет в шаре Т единственное решение х*, которое может быть найдено методом последовательных приближений.

4. Пусть на числовой оси задана функция x{t) со значениями в банаховом пространстве Е.

Следуя обычным правилам, можно дать определение производной и интеграла от функции x{t).

\ X (t) dt.

Перейдем теперь к понятию полной вариации абстрактной функции g(t), принимающей значения в Е.

Рассмотрим снова промежуток [а, р] оси t и всевозможные разбиения этого промежутка a = to<C.i<C.- • <С.п = на конечное число частичных интервалов. По определению, величина

sup 2 II gihi)-gih) II =V(0.

где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям

отрезка [а, Щ, называется полной вариацией функции g{t)

на отрезке [а, р]. В данном определении можно, конечно,

полагать р = оо. В этом случае будем считать, что функция

g{t) имеет ограниченное изменение на множестве asg<oo,

если g{t) имеет ограниченное изменение в любой конечной

части [о, t], и полные вариации \/ g{t) ограничены в их

Так, например, производная (по Фреше) функции x(t) в точке может быть определена по правилу

х(д = Ит4.

если указанный предел (в смысле сходимости по норме) существует. Определенный интеграл (по Бохнеру) от функции x{t) определим как предел интегральных сумм вида

k = 0

где а = „<,<.,<.= t,,r,t,.i,kO, 1,... п-1, при условии, что л-оо и SUpl;;,,! - 1-0.

Если указанный предел существует и не зависит ни от способа деления отрезка [а, р] на частичные отрезки, ни от способа выбора точек на частичных отрезках, то будем говорить, что интеграл от функции x(t) поотрезку [а, р] существует, и будем обозначать этот интеграл символом