•,•=,•+1. 1.....«-1, "1

„ = - a„xi - a„ ix - ... - aiX„ - rj.KXi. j

(5.3)

Рассмотрим гиперплоскость

s = c„ ,x,-[-...+СоХ„ = О, (5.4)

где С(,= 1.

Теорема 5.1 (Емельянов С. В., Таран В. А. [50]). Для того чтобы гиперплоскость s = 0 была гиперплоскостью скольжения, необходимо и достаточно выполнения условий:

= rci 4- а,.1, / = О, 1,..., л 2, (5.5)

a„-f гс„ ,/Г, (5.6)

где г - некоторый вещественный параметр.

Докажем необходимость условий. Введем вместо координаты х„ новую координату 5 = Сп- ii -- ... -j- сх„.

скольжения будет представлять собой затухающий колебательный процесс.

Если колебательный характер скольжения по какой-либо причине не является приемлемым, то следует нарушить (за счет увеличения В) условие А = В - аВ-\-Ь, с тем, чтобы корни характеристического уравнения (4.17) стали действительными. Можно показать [34, что свойство устойчивости в этом случае не исчезнет. Более подробно эти вопросы для нелинейного случая будут рассмотрены в § 7.

§ 5. Стабилизация системы и-го порядка

Рассмотрим уравнение

xW -f а,х(«-1) 4 ... ajc = глКх, (5.1)

где величина а определяется соотношением

а = sign (c„ iX, + ... -f СоХ„) Xl, (5.2)

где Со, ..., с„ 1 -- постоянные.

Уравнение (5.1) эквивалентно, очевидно, системе

(5.7)

Система (5.3) запишется следующим образом: Xi = Xii, /= 1,..., л - 2,

Хп-\ - - 2 n-ii ~Ь 1 = 1

=г - [(Яп + f-Cn-O-f а/С] Xi + (c„ j - a„ i + + <n-i) + ... -f (Сз - дз + rci) x„ i -- rs,

где введено обозначение г = Cj - aj.

Для того чтобы производная s меняла знак на гиперплоскости s = 0 только тогда, когда меняет знак величина Xj, как это требуется для выполнения условий скольжения (см. § 1)

XisUiO, Xis, = iO, (5.8)

необходимо, чтобы все коэффициенты при Хя,..., лг„ 1 в последнем уравнении системы (5.7) обращались в нуль. Таким образом, получаем условия (5.5). Кроме того, чтобы удовлетворить условиям (5.8), необходимо, очевидно, считать выполненным неравенство (5.6), так как последнее уравнение системы (5.7) превращается при выполнении условий (5.5) в уравнение

S = - [Яп + rc„ i + аЛГ] Xi.

Достаточность условий теоремы доказывается аналогично. Рассмотрим теперь функцию

/(r) = r« + a,r«- + ...+a„.

Из условий (5.5) следует

nr) = an+rci. (5.9)

Таким образом, неравенство (5.6) может быть записано в форме

1/(0 К/С.

Перейдем теперь к исследованию вопросов устойчивости рассматриваемой системы.

Те же рассуждения, которые были проведены нами в § 3 при выводе системы (З.Ю), приводят нас к выводу, что процесс скольжения описывается в рассматриваемом случае

системой

Xi=Xii, i=\,л -2,

n-i = - 2 n-ii-

(5.10)

Очевидно, Система (5.10) может быть получена из системы (5.7), если взять из нее только первые п - 1 уравнений и положить s = 0.

Если выполнены условия существования скольжения (5.5) и (5.6), система (5.7) будет иметь вид

•>.= х,+1. 1,..., « - 2,

п - 1

•л--1 = - 2 n-il-\> i = l

s = -{f{r)-\-aK]x,-\-rs.

(5.11)

Рассмотрим теперь условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (5.10), описывающей процесс скольжения.

Теорема 5.2 (Е. И. Геращенко [37]). Пусть выполнены условия (5.5) и (5.6) при данном фиксированном значении г. Для того чтобы нулевое решение системы (5.10) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения

>,-4-аА-> +... + а„=/(г), (5.12)

помимо очевидного Х=г, лежали в левой полуплоскости комплексного переменного.

В самом деле, нетрудно видеть, что уравнение (5.12) является характеристическим уравнением системы

i = rs.

(5.13)

Действительно, при а = -1 характеристическое уравнение системы (5.11), эквивалентной уравнению (5.1), имеет вид X"-)-aiX" -[-...-j-а„ = ЛГ. С другой стороны, система