г (0 = f { XV-" + e" [(a + 2aX + p) cos +

Используя уравнение (9.20), получим j; (7) = у e" sin pГ и г (7) = 2 cos + (a - X) sin p7], откуда следует

A=i=Pctgp7 + a-X. (9.21)

Введем обозначение p7=r, o = °"" и изучим функцию

Fir)=fiir) - fiir), где Air) = е- и Л (г) = cos г - а sin г. Нуль функции f (г) соответствует значению г точки пересечения графиков функций /i(r) и /(г). Очевидно, имеем /i(0)=/2(0)= 1. Значения производных этих функций при г = 0 совпадают, т.е. графики функций /i(r) и /(г) имеют в этой точке общую касательную. Кроме того, поскольку /;(r) = aV"]>О всюду, то график функции /i(r) вогнут и расположен для всех значений г выше касательной к графику в точке при г = 0. С другой стороны, имеем sign f (r) = = - sign/2 (г) для всех г.

Поэтому для значений г из интервала (О, ri), где ri - нуль функции Л (г), график функции /(г) является выпуклым и расположен ниже указанной касательной. Легко проверить, что следующий нуль функции /(г), г = г удовлетворяет неравенству гк, т. е. на интервале (г,, r-j) эта функция принимает отрицательные значения, а ее график расположен ниже оси г. Поэтому, по крайней мере на интервале (О, г), имеем Л ()!> Л (О- Пересекутся же графики этих функций лищь

на интервале (г, /т:), поскольку Л j • >

первый положительный нуль функции f (г) лежит на интер-

вале к, к] а это означает, что наименьший положитель-

Используя равенства (9.19), найдем значения j; = x vi z = x, как функции времени

y(t) = Г- le-"- -ell cos + + f+ sin

ный корень уравнения (9.20) расположен в интервале 7" Зп:/2р. Но из (9.21) немедленно следует неравенство k = ctgT-\-a - Ха - X. В силу формул Кардана получим

а, 27 = - Из - гз - а,

= (-9l+/9fTpf) г;. = (~9,--Г?+У/з,

92 = у

27 з

Очевидно, при К-со имеем н,-0, г>,- - оо, h-oo, Vc-Q, причем «2 и имеют одинаковый порядок роста. Отсюда следует, что при достаточно большом значении К будет выполнено неравенство:

которое и обеспечит нам требуемое соотношение k 2-.

Заметим теперь, чтр если начальная точка (Хф Zq) расположена в области d ниже интегральной плоскости (9.13), то ее изображаюш,ая точка за конечное время, не выходя из области Ор попадает на часть поверхности переключения. Действительно, в этом случае точка М (t), в согласии с формулой (9.18), должна выйти из области О,. Но, выходя из области Gi, она не может пересечь ни плоскости л;=:0(так как в момент попадания на плоскость jc = 0 для нее оказалось бы, что х=у0), ни (в силу теоремы единственности) интегральной плоскости (9.13). Поэтому выйти из области Gj точка М (t) может только через часть поверхности 5.

Можно показать, что на частях 6,-(/=1, 2, 3, 4) поверхности переключения имеются секторы прошиваемости.

Если точка M{t) попадет в сектор прошиваемости, при-надлежаш,ий части S, то она прошьет поверхность переключения 5 и окажется в области G3 ниже интегральной плоскости (9.15), а поэтому за конечное время попадет на одну из частей бз или S, причем в случае попадания на часть s3 точка оказывается в области скольжения.

4. Исследуя знак полной производной от функции Ri {х, у, z), взятой в силу каждой из систем (9.2), убеждаемся в том, что при А - В-{-аВ - ЬфО (в случае равенства нулю указанного выражения плоскость Ri = 0 является для системы (9.2) плоскостью скольжения) на частях и S3 поверхности переключения имеются секторы прошиваемости, заключенные между плоскостью х = 0 и одной из плоскостей

{АВ - аАс±Юх = {А~ВаВ - Ь)у. (9.22)

Поступив аналогичным образом с функцией R {х, у, z), убедимся в том, что при А - б-{В -bTf-{-{B - ЬТ)а - Ьф О (т. е. когда для плоскости RiQ не выполнено условие скольжения; см. § 3) на частях ба и S поверхности переключения имеются секторы прошиваемости, заключенные между плоскостью д: = 0 и одной из плоскостей

[{А - Ь){В~ЬТ)~а{А~Ь)с±К]х =

= [Л -- 6 - (В - 67") -[- (Б - 67") а - Ь]у. (9.23)

Выбор знака К в уравнения плоскостей (9.22) и (9.23) зависит от знаков коэффициентов при у в этих уравнениях.

Углы секторов прошиваемости при достаточном увеличении можно сделать как угодно малыми.

Попав на какую-либо из частей или S3 поверхности переключения в область скольжения, изображаюш,ая точка М (t) движется по поверхности переключения 5 в силу уравнения

Jc + Bx-f-Лх = 0 (9.24)

до тех пор, пока не попадет в сектор прошиваемости. Поведение интегральных кривых уравнения (9.24) на фазовой плоскости определяется корнями [х, и р. характеристического уравнения (9.7). В силу неравенств Xi<0, (Х2< О начало координат для уравнения (9.24) суть особая точка узел. В силу тех же неравенств любая точка фазовой плоскости, двигаясь по своей траектории, при t-oo стремится попасть в начало координат. При этом все траектории, за исключением интегральной прямой y = [).iX, в начале координат касаются интегральной прямой у = \).х.

Попав на какую-либо из частей или Si поверхности переключения в область скольжения, изображаюш,ая точка M(t) движется по поверхности переключения 5 в силу уравнения

х + (В -67)х-[-(Л--6)х = 0 (9.25)