= j,fi имеет в качестве решения ненулевую матрицу В. Это уравнение может быть переписано в виде А*В -\- ВА = \хВ; отсюда следует, что (Л* - Е) В - - В А.

Покажем, что матрицы Л* - (if и - А имеют по крайней мере одно общее собственное число. Если это не так, то характеристические полиномы gQ.) и /(X) этих матриц не имеют общих делителей, поэтому можно указать полиномы g\Q)> АО-) такие, что имеет место соотношение giQ-)gQ-)-{-+ /i()/()=l- Пусть hil) = giil)gil). По теореме Кэли- Гамильтона ([5], стр. 74) имеем h (А* - jif) = О и /г (- А) = Е. С другой стороны, легко видеть, что имеет место соотношение h (А* - [tE) B - Bh{- А), которое и приводит нас к противоречивому выводу, что В = 0.

Итак, среди собственных чисел X,- - р, матрицы А - (л существует по крайней мере одно, равное - Х (здесь через X,-, Х; обозначены собственные числа матрицы А). Таким образом, jj, = X; Х; и в силу условия теоремы фО. Отсюда делаем вывод, что оператор F обратим, и уравнение (8.10) имеет решение.

§ 9. Построение функций Ляпунова в виде квадратичных форм для линейных систем дифференциальных уравнений

Докажем теперь ряд теорем о существовании функций Ляпунова для линейных систем. Приводимые ниже результаты были получены А. М. Ляпуновым, который строил функции в виде однородных форм т-го порядка. Однако мы, ограничиваясь для простоты квадратичными формами, несколько усиливаем формулировки А. М. Ляпунова. Это усиление состоит в том, что, рассматривая уравнения (8.9), мы отказываемся от требования знакоопределенности функции w (Ю. И. Алимов [9]).

Теорема 9.1. Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то, какова бы ни была наперед заданная знакоотрицатель-ная квадратичная форма w, обращающаяся в нуль на множестве М, не содержащем целых траекторий, кроме точки О, существует одна и только одна квадратичная формй V, удовлетворяющая уравнению (8.9), и эта форма обязательно будет определенно положительной.

в самом деле, по теореме 8.1, так как величина не обращается в нуль, существует форма v, удовлетворяющая уравнению (8.9). Остается показать, что v является определенно положительной. Допустим, в некоторой точке р {Хр ..., Хп) выполнено неравенство t)(xj, лГпХО. В силу однородности функции V мы будем иметь неравенство v(kxl,..., kxn)<0 при любом положительном k; это означает, что в любой окрестности точки О имеются точки, в которых v отрицательна. Множество М, где =0, не содержит целых траекторий. Из теоремы 6.3 (при замене d на - v а w н& - w) следует неустойчивость положения равновесия, что противоречит предположению, так как при условиях теоремы обеспечивается асимптотическая устойчивость. Допустим теперь, что в некоторой точке имеем v(p) - 0. Так как йО, и вдоль траектории /(/?, t) не может выполняться тождественное равенство © = 0, то найдется точка q=f(p, t), в которой v{q)<0, что снова приводит к противоречию. Таким образом, всюду, кроме точки О, имеем t)(/?)0, что и доказывает теорему.

Теорема 9.2. Если среди корней характеристического уравнения системы (8.1) имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, и если ни при каких I, k величина Х,- \ не обращается в нуль, то какова бы ни была знакоположительная форма w, обращающаяся в нуль на множестве М, не содержащем целых траекторий, существует одна и только одна квадратичная форма V, удовлетворяющая уравнению (8.9), причем эта форма не будет знакоотрицательной.

В самом деле, по теореме 8.1 форма v существует. Остается лишь доказать, что форма v принимает положительные значения. Допустим, что всюду, кроме точки О, выполнено неравенство t)<0, но в таком случае мы находимся в условиях применения теоремы 5.2 (снова заменяя d на - v и -ш на -w), из которой следует, что нулевое решение системы (8.1) асимптотически устойчиво. Однако из предположения теоремы о корнях характеристического уравнения системы (8.1) мы имеем неустойчивость. Если же в какой-либо точке t)(p) = 0, то, так как 1) не может равняться нулю вдоль всей траектории точки р, приходим к заключению, что на этой траектории найдется точка q, в которой v{q)0, что согласуется с утверждением теоремы. Теорема доказана,

dv vi V U п

1=1 k=\

поэтому i) не будет знакоопределенной; более того, множество, где й = О, содержит целые траектории, так как точка Q является особой.

Теорема .Ъ.Если среди корней характеристического уравнения системы (8.1) существует хотя бы один с положительной вещественной частью, то, какова бы ни была знакоположительная квадратичная форма w, обращающаяся в нуль на множестве М, не содержащем целых траекторий, всегда найдется квадратичная форма v и положительное число а такие, что будет выполняться соотношение

f=.o.v-w, (9.2)

причем функция v не будет знакоотрицательной.

Для доказательства рассмотрим наряду с системой (8.7) систему

f==[A-E)x. (9.3)

Характеристическое уравнение этой сис1емы будет иметь вид

Л-+р]£=0. (9.4)

так как последняя возможность существования точек, в которых v(q)0, и является утверждением нашей теоремы.

Примечание. Покажем, что теорема 9.2 становится неверной, если не выполнено условие 0. Рассмотрим

случай, когда среди корней уравнения (8.2) есть нулевой корень. В этом случае определитель А , составленный из коэффициентов системы (8.1), равен нулю, и система уравнений

2 а;л = 0, =1, 2, п, (9.1)

будет иметь ненулевое решение Xk - x%, k=\, 2, ..., п. Какова бы ни была функция г», получим в точке Q{x\,..., х