плоскости 7jz=0 и частей S, Si плоскости /?2=0, будем называть в дальнейшем поверхностью

На поверхности 5 около линий МЛз> ММ выделяются секторы LfiNi, г=1, 2, 3, 4, в которых траектории системы (9.2) «прошивают» поверхность S, но легко показать, что углы этих секторов путем выбора достаточно большого К можно сделать как угодно малыми. Во всех остальных точках поверхность 5 является поверхностью скольжения. Плоскость лг=0, как следует из первого уравнения системы (9.2), является «прошиваемой* плоскостью.

Пусть величины А ч В будут заданы так, что выполняются условия

0<Л<В74. (9.5)

Определим величины б и Г из (9.3) неравенствами

А<е< -[хзД < - [Хз, (9.6)

где [Xj, [Xj-корни уравнения

[х2-]-5[х-]-Л=0. (9.7)

Ниже будет показано, что неравенства (9.6) всегда могут быть удовлетворены.

Теорема 9.1. Если выполнены условия (9.5) и (9.6), то можно выбрать такое число КаО, что при ККо и при выполнении закона переключения (9.4) всякое решение системы (9.2) будет обладать свойством

lim X{t)-- limy (t) z= lim 2 (О = 0.

t-*co t-*co t-*co

Доказательство этой теоремы складывается из следующих этапов. Сначала показывается, что любая точка М фазового пространства попадает на поверхность 5. Дальнейшее поведение этой точки зависит от того, на какую часть поверхности она попадет, т. е. на плоскость Ri = 0 или на плоскость /2 = 0. Если точка М попадет на плоскость /jO (части или 5з поверхности 5"; см. рис. 14) в область скольжения, то ее дальнейшее движение будет определяться системой

х=у, у=-Ах - Ву, (9.8)

в силу которой эта точка будет приближаться к началу координат вдоль некоторой прямой у = [ajX, Ri(x, у, г) = О

Если точка М попадет на плоскость - 0 (S или Si), то она будет двигаться по ней в силу системы

х=у, -Ax~ByQ{x-Ty), (9.9)

и либо придет по сепаратрисе в начало координат, либо по кривой гиперболического типа дойдет до линии /, = 0, х-\-Ту = 0 и перейдет на плоскость Ri = О, либо дойдет до сектора прошиваемости NOL или NOL. В последнем случае точка М, сойдя с поверхности 5, обязательно снова попадет на нее, но уже на часть 5, или плоскости Ri = Q и именно на ту часть, где существует скольжение, следовательно, точка М будет двигаться к началу координат. Доказательство всех этих положений дается ниже.

1. Покажем сначала, что параметры А, В, б, Т можно выбрать так, чтобы выполнялись неравенства (9.5) и (9.6). Действительно, возьмем произвольную пару положительных чисел А V В, удовлетворяющих неравенству (9.5). При этом имеем

{В 12 - AjBf > BIA - Л > 0.

Отсюда

\Bj2 - AlB\y{BlA - AfK (9.10)

Но В/2~А1ВА/В0, а потому соотношение (9.10) можно переписать в виде

5/2 -Л/5>(574-Л)/2, откуда Л< -\iB.

Значит, можно выбрать б так, что

Л<б< -[ЛзД (9.11)

но так как [Xi <CfJ2 <С О, то неравенство

\>l-Ty.i (9.12)

тоже выполнено, причем ТО.

Поскольку неравенства (9.5) и (9.6) осуществимы, то в дальнейшем они всюду считаются выполненными.

2. Перейдем к доказательству попадания изображающей точки системы (9.2) на одну из частей 6j(i=l, 2, 3, 4) поверхности переключения,

Обозначения и применяются для частей плоскости = 0, принадлежащих поверхности переключения 5" и расположенных соответственно в полупространствах и х<0.

Части плоскости Я = 0, принадлежащие поверхности переключения 5" и лежащие в полупространствах лг<0 и хО, обозначены соответственно через S. и St

Каждая из областей Gj и G3 разбивается на две части плоскостью, составленной из интегральных кривых системы (9.2) при а= 1.

Уравнение этой интегральной плоскости имеет вид

(а + Р)х-2аз; + 2: = 0, (9.13)

где а и р - вещественная и мнимая части комплексных корней характеристического уравнения:

\-ia\-b\-c-\K=0. (9.14)

Наличие пары комплексных корней a±/p(aO, РО) и вещественного отрицательного корня - (X 0) для уравнения (9.14) при достаточно больших К следует из формул Кардана. Из этих же формул следует, что при К, стремящемся к бесконечности, величины а, р и X тоже стремятся к бесконечности.

Области Ga и G4 рассекаются интегральной плоскостью системы (9.2) при а= - 1.

Уравнение этой плоскости имеет вид

if + b)x-2iyz = 0, (9.15)

где 7 и 8 - вещественная и мнимая части корней уравнения Х + аХ + бХ + с -А:=0 (9.16)

Наличие пары комплексных корней 7 ± / 8 (7 < О, 80) и вещественного положительного корня (j, для уравнения (9.16) при достаточно больших К также следует из формул Кардана. Очевидно, при К, стремящемся к бесконечности, величины Y 8, и [x также стремятся к бесконечности.

Рассмотрим в области G точку Жо(Х(, у,,, о), расположенную выше интегральной плоскости (9.15).