§ 14] ПРИЛГЕРЫ 53

Условия устойчивости нулевого решения запишутся в виде

a) /(х)х>0 при хфО,

b) g(y)>0 при уф О,

c) 9{У)У>0 при у фО,

d) /(х) dx-*OQ при IXI оо, о

e) Z .co при \у\-*со.

Пример 3. В уравнении

х+ср(х)х+/(х)=гО, проведя замену переменной (замену Лиэнара)

получим систему

х=у - \f{x)dx,

i (14.8)

j) = -/(x). Используя функцию Ляпунова

t>=y + 2$/(x)dx

и принимая во внимание, что

г=-2/(х)$ср(х) dx, о

получим следующие достаточные условия устойчивости в целом:

a) /(х)х>0 при хфО,

b) ср (х) > О при хфО,

c) / (х) dx-*co при 1X1 -> со. о

пример 4 (И. Н. Красовский 9J). Рассмотрим уравнение

x=f{x, X),

эквивалентное системе

х=у,

Р = /(х, у).

Беря функцию Ляпунова в виде

f=y-2$/(x, 0)dx,

получим

v = 2{f(x, у)-fix, 0)]у. Условия устойчивости в целом имеют вид

a) f(x, 0)х<0 при хфО,

b) [fix, у)-fix, 0)]j/< О при у ф О,

c) \ fix, 0) СО при IXI -> со. о

Пример 5 (Е. А. Барбашин [20]). Рассмотрим уравнение х + ах + ср(х) + /(х) = 0, (14.9)

где ср (0)=:/(0) = 0, а>0, функция /(х) непрерывно дифференцируема, а функция ср (х) непрерывна при всех значениях аргумента. В дальнейшем введем в рассмотрение функцию

W (X, у) = aF (X) + / (X) J/ + Ф iy),

Fix)=\fix)dx,

iy) = \<?iy)dy. о

Вводя обозначения у = х, г=р-\-ау, уравнение (14.9) приведем к системе

х=у, p = z - ay, i=-iy)-fix). (14.10)

Рассмотрим функцию

t> = aF(x) + /(x)j;+Q(j;)-fl* = ®(x, у) + z\ Имеем

Пусть выполнены условия

a) f{x)xO при ХфО,

b) а-Г{х):>0 ири уфО,

c) lim w{x, у) = 00, где г = (x*--J/*)

г-*оо

Из условия (Ь) следует, что ixO при уфО и т) = 0 при j; = 0. Покажем, что на плоскости у = 0 нет целых траекторий, кроме нулевого положения равновесия. В самом деле, если такая траектория имелась бы, то вдоль нее мы должны иметь у=р~0. Из второго уравнения системы (14.10) следовало бы z=0 и i = 0, из третьего уравнения следует тогда (так как (f(y)=0) тождество /(х) = 0. Условие (а) с учетом непрерывности f{x) приводит нас к тождеству х = 0. Таким образом, рассматриваемое движение может быть только нулевым.

Покажем теперь, что функция w является определенно положительной. Имеем

r«fr ,л (2Ф (у) +yf {х)У , 4aF (х) Ф (у) -ff (х)

W (X, У) -t-

Заметим, что Ф(>)0 при j; f: 0. В самом деле, так как /(х) меняет знак в точке х=0, то /(х) принимает положительные значения для некоторых значений х; эти значения, как видно из условия (Ь), не превышают нижней грани значений что и обеспечивает нам положительность

У У

илг что то же самое, положительность Ф(;). Покажем, далее, что функция

и (X, у) = 4af (X) Ф {у) ~уТ- (X)