Таким же образом из (3.37) находим

arctg-arctg2. Подставляя (3.40) в (3.39) и потенцируя, получаем

г2 Л. v2

- ехр

Непосредственно из (3.40) имеем

(3.40)

(3.41)

(3.42)

Решая систему уравнений (3.41) и (3.42), после ряда преобразований находим

(3.43а)

(3.436)

Используя формулы (3.43) и учитывая (3.14) и (3.33а), находим окончательно из (3.10)

- ks

- ks-r-] = dx \i

(3.44a)

exp I

(3.446)

Это и есть искомое строгое решение задачи в данном частном случае.

- ks

dx dT

= *. Я1(Г, ) /.ДГ, (3.45a) = As + i/»i-(7-„+) + i/TA7-. (3.456)

Из всех возможных случаев, допускающих решение (3.11) в квадратурах, для нас особый интерес представляют два случая, которые имеют место при р = 0 и х = 0 соответственно. Эти случаи осуществляются в условиях, физический смысл которых выясняется из равенства (3.10). Согласно (3.11) изменение z с температурой целиком определяется соответствующим изменением теплового потока. Что же касается последнего, то он является монотонно убывающей функцией температуры, причем, согласно (3.4), разница между максимальным и минимальным его значениями равна сумме выделившихся в проводнике теплот Джоуля и Томсона y-f-y. Во всех практически важных случаях эта сумма имеет тот же порядок, ЧТО и Q, и, следовательно, z(T) в пределах Д7 сохраняет порядок величины. При этом порядок z существенно зависит ОТ условий работы и конструкции проводников, т. е. ОТ величин /, Д7, 5 и /. Меняя эти параметры, мы можем изучать процесс теплопроводности либо в области больших значений z, либо в области малых его значений и для удобства решения полагать в (3.11) либо р = 0, либо х = 0 соответственно. Легко видеть, что в первой области по сравнению с эффектом Томсона эффект Джоуля пренебрежимо мал, во второй же области имеет место обратное.

Эти случаи представляют самостоятельный интерес ввиду ТОГО, ЧТО эксплуатация генераторов происходит при больших г, а тепловых и холодильных установок - при малых z. В этих случаях приближенные решения обеспечивают необходимую ТОЧНОСТЬ расчета, а их сопоставление позволяет в дальнейшем синтетически построить приближенное общее решение задачи. Поэтому ниже мы подробно остановимся на каждом из них в отдельности.

Пользуясь тем обстоятельством, что <-< 1 •

можно разложить в ряд экспоненту и тригонометрические функции и в ТОМ же приближении, в каком справедливы формулы (3.9) и (3.31), получить

§ 4. Построение приближенного общего решения

Влияние эффекта Томсона на процесс теплопроводности. Пусть -г--; тогда, полагая в (3.11) р = 0, интегрируя И выполняя необходимые преобразования, находим

zdT,

(4.1a) (4.16)

где В - константа интегрирования.

Подставляя в (3.10) функцию z{T), найденную из (3.11), интегрируя и используя краевые условия, получим:

Тх I т ,

(4,2)

Из (4.2) следует, что В У> Q-Если учесть то, что

было сказано относительно величины

, то легко ви-

деть, что в обычных условиях < 0,5. Это дает основание представить В в виде ряда

B = Q

14-.4 iil 4 ill ,

(4.3)

4 1

г, \г

/ = 2,

(4.4)

причем, согласно теореме о среднем,

\Чп\ < \Ят\-

(4.5)