Строгое решение уравнения (3.5) в общем случае не представляется возможным и может быть выполнено лишь при некоторых специальных допущениях относительно вида функций k{T), р(Г) и х(Г). В частности, допущение постоянства k, р и т значительно упрощает задачу, позволяя в то же время Бг общих чертах описать происходящий в проводнике процесс. Поэтому мы прежде всего рассмотрим решение этой задачи, которое было получено А. Ф. Иоффе и Л. С. Стильбансом [25].

Решение упрощенной задачи. При постоянных , р и т имеем из (3.5)

an /х dT , /2р

sk dx

(3.6)

Уравнение (3.6) является линейным уравнением с постоянными коэффициентами и потому его интегрирование не составляет труда. Определив константы интегрирования из (3.5а), получим после несложных преобразований

- ks

- ks

Q + I

(3.7a)

(3.76)

Здесь Q

, gj,=IxAT, gj=Pp-, где AT=T,-T,.

Формулы (3.7) дают вполне строгое решение задачи, однако для удобства исследования это решение целесообразно представить в форме ряда, воспользовавшись разложением

функции по степеням 5 =При этом необходимо,

чтобы выполнялось неравенство < 2tz. Можно показать (см. гл. П - IV), что при использовании термобатарей в наиболее выгодных с экономической точки зрения условиях вели-I Ят\

чина зависит лишь от температур спаев, коэффициентов

теплопроводности и электропроводности проводников пары и ее термо-э. д. с. В обычных условиях она не превышает 0,3

и, следовательно, разложение в ряд законно. Выполнив необходимые преобразования, получим

- ks

- ks

dx \i

/ 2 Q 2 Q ~\2 Q 2 Q / 6 Q "2 Q~2 Q Q 2 Q ) (5 Q

Из (3.8) следует, что величина потока тепла в основном определяется обычной теплопроводностью Q, а влияние эффектов Джоуля и Томсона учитывается поправочными членами, стоящими в квадратных скобках. При этом главную роль

играют члены и y" следующий член составляет

уже не более 5% от основных поправок. Поэтому для практических нужд до настоящего времени оказывалось вполне удовлетворительным первое приближение, которое получается из (3.8), если пренебречь членами второго и высших порядков малости относительно основных поправок

(3.9a) (3.96)

Важно отметить, что основные поправки входят в (0.9) равноправно и независимо друг от друга. Взаимодействие же электрических эффектов, которое в действительности имеет место, учитывается входящими в (3.8) членами высших порядков.

Преобразование исходного уравнения. При помощи подстановки

ks dT /О 1п\

имеем

dy J d (I 1 + у ~z Jt "

Это уравнение может быть решено совершенно строго, если

= Л JxdT-\-B, (3.16)

где А и В - произвольные постоянные.

Мы рассмотрим ниже два еще более частных случая и получим для них вполне строгие решения, которые нам понадобятся в дальнейшем для обоснования приближенного общего решения задачи.

Пример 1. Пусть

р = const

" k = cx, (3.17а)

с = const. (3.176)

Тогда из (3.15) получим

У41- = -±. (3.18)

1+у ср

приводим уравнение (3.5) к виду

1 + 4 + . = 0. (3.11)

При заданной функции z(T) уравнение (3.10) интегрируется одной квадратурой и, следовательно, задача сводится к определению z(T) из (3.11). При произвольной температурной зависимости А, р и х уравнение (3.11), как и (3.5). не решается в квадратурах, однако теперь легко указать еще несколько частных случаев, допускающих такое решение.

Действительно, введем новую переменную:

t = jxdT при х=0. (3.12) Тогда из (3.11) получим

If+ -2+1=0. (3.13)

Обозначая теперь

У=. (3.14)