Выбор экстремальной последовательности температур определяется условиями минимума 1-т), которые с учетом (11.21) могут быть представлены в виде

i-l п

M(M-l)(T, + ,-ri ,)Jl(l--qj) Ц

d{l-ri) М yMi V

dTi {TiM+Ti ,y{Tt+,M+Tiy

X{T]-T ,T,,) = Q. (12.2)

Отсюда непосредственно вытекает, что

Т1 = УТ\Ж,, /=1, 2. /г-1. (12.3)

Таким образом, мы приходим к уже известному нам соотношению (6.15), а следовательно, и к вытекающим из него равенствам (6.16) и (6.17), определяющим искомую последовательность температур.

Используя равенства (6.17) и (11.21), получим из (12.1)

, = , [ii±y. (12.4)

Этой формулой определяется наибольший коэффициент полезного действия батареи, состоящей из п каскадов. С увеличением п к. п. д. возрастает, стремясь к некоторому пределу 7). Как и соответствующий предел в процессах охлаждения и отопления, т] является величиной, характеристической для термоэлектрического сЛЪсоба получения электроэнергии вообще. Использование различных конструкций батарей позволяет лишь в той или иной мере приблизить их к. п. д. к этому пределу, но не превзойти его. Поэтому для оценки эффективности любых конструкций термобатарей необходимо прежде всего оценить, получается ли значительный выигрыш в к. п. д. даже в самом лучшем случае - при достижении этого предела.

Для определения т] положим в (12.4) п==- , прологарифмируем 1-7) и перейдем к пределу. Тогда получим

,„(l ,j=,tall. (12,5;

Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, находим отсюда

7j=l- +i=\-t т. (12.6)

Теперь мы получаем возможность, сравнив значения tj, рассчитанные из формул (11.21) и (12.6), оценить максимально возможный выигрыш в коэффициенте полезного действия. Результаты соответствующего расчета (для а = 0,58) сведены в табл. V.

Таблица V

Из этой таблицы видно, что при наиболее вероятных температурных интервалах, вплоть до ДТ=300° ( = 2). увеличение к. п. д. весьма незначительно: не более 5% от его величины. Даже при ДТ=600 ( = 3) прирост к. п. д. не превышает 10%. Если учесть еще, что при двух или трех каскадах этот прирост будет еще меньше и, кроме того, некоторое понижение tj будет обусловлено наличием паразитных перепадов между каскадами, то становится очевидным, что использование каскадной или регенеративной схемы в качестве батарей-генераторов вряд ли практически целесообразно.

Принципиально повышение экономичности объясняется тем, что степень необратимости процесса возрастает с увеличением интервала температур на термоэлементе. Если бы к. п. д. элемента равнялся предельному термодинамическому к. п. д. обратимого цикла 7)= 1 -то никакого выигрыша применение каскадов дать не могло бы. Такая идеальная ситуация соответствует случаю Л1 = оо, и при этом условии из (12.6) действительно вытекает tj ()= 1 - = t?i(0

При ВСЯКОМ же конечном Ж = const < оо к. п. д. термоэлементов меньше термодинамического к. п. д. в q раз:

nM-tT)g, гдед, = . (12.7)

причем с ростом q уменьшается, существенно снижая экономичность процесса. Именно благодаря этому обстоятельству переход к каскадной схеме дает выигрыш в общем к. п. д., так как уменьшение увеличивает эффективность работы каждого каскада, приближая д к 1, ат). - к к. п. д. обратимого цикла.

При Ж = const это приводит к формулам (12.4) и (12,6) и дает эффект, обсуждавшийся в связи с таблицей. В более общем случае, когда Ж, = Ж(Г;, T.i), изложенные выше соображения позволяют сделать следующие качественные выводы.

Если вещество термопар таково, что Ж, растет с увеличением температурного перепада на элементе, то степень необратимости процесса менее резко возрастает, т. е. величина д более медленно уменьшается с ростом t, поэтому эффект применения каскадных схем в этом случае будет меньше, чем при Ж = const. Наоборот, если качество термопар Ж резко ухудшается с увеличением t, то использование каскадных генераторов даст сравнительно больший эффект.

При малых величина М(Т, 7, i) может быть без особой погрешности заменена соответствующей дифференциальной

характеристикой т - у \ -\- • -.., Т , взятой при

T= 2 ~ • связи с вышеизложенным ясно, что применение каскадных генераторов может оказаться целесообразным только при условии < 0. Однако в этом случае

непосредственное применение полученных выше формул невозможно, и расчет должен быть повторен с учетом заданной конкретной зависимости т (Г).