ВОЗМОЖНОСТЯМ каскадной схемы охлаждения. К сожалению, увеличение К с ростом п очень быстро уменьшается, а при /г->оо холодильный коэффициент стремится к пределу, который без особых трудностей находится из (6.18). Действительно, введя переменную х = ~, прологарифмировав и перейдя к пределу, получим

lnt.„,„= Нт 1п,л=11т Ш. (6.20)

Раскрывая неопределенность по правилу, Лопиталя и потенцируя, находим

Мл-\

Здесь/Соо - искомое предельное значение холодильного коэффициента, которым ограничиваются возможности повышения эффективности процесса с помощью каскадной схемы охлаждения.

Формулы (6.18) и (6.21) можно рассматривать и с другой точки зрения. Если, например, данное значение К является экономически удовлетворительным, то, переходя к большему количеству каскадов, можно добиться большего снижения температуры.

Условия стационарности процесса. Вернемся теперь к рассмотрению условий стационарности процесса (6.1), которые, как было указанб выше, могут быть удовлетворены соответствующим подбором сопротивлений элементов в каскадах. При этом, конечно, величины d, d". и q. нужно считать определенными в согласии с формулами (6.11) и (6.12), а сопротивление каскадов варьировать изменением их длины или площади [31]. При компактном располо.жении элементов (5 = inv = Sq) правильное изменение нх длины от каскада к каскаду является совершенно необходимым, тогда как при рассредоточенном их расположении длину можно сохранить постоянной и добиться выполнения условий стационарности подбором рабочей площади каскадов, т. е. числом составляющих их элементов. Последний способ является, по-видимому, более удобным с точки зрения условий теплоотвода и единообразной формовки элементов батареи.

(6.22)

/ = 1, 2, .... п. (6.23)

Для решения интересующей нас задачи целесообразно воспользоваться формулами (5.66) и (5.68), представив их с учетом (6.16) в виде

Qn = OT,f{Mrn- i), + 1

Здесь и в дальнейшем предполагается, что величину О, в соответствии с характером зависимости kg(T), в пределах интервала температур {Tq, Т) можно считать постоянной. Однако это допущение не является необходимым, так как различие в величинах G, относящихся к разным каскадам (если оно окажется существенным), без всякого труда может быть учтено в дальнейших выкладках.

В случае компактной батареи следует положить 5 = 5о=== = inv и, подставляя (6.22) и (6.23) в (6.1). найдем 1

+ 1 fn

ll ~

,т л1 -«

= {jY> i=U 2.....n-l. (6.24)

Такая последовательность представляет собой геометри-ческую прогрессию со знаменателем "j" • общим членом

" • 2 •••• (6-25)

и суммой /, равной полной длине (или, что то же самое, высоте) термобатареи:

1 = 1,

(6.26)

В этих формулах величина jx имеет, конечно, экстремальный вид (6.18).

Величина тепла, снимаемого с горячих спаев, находится аналогичным образом из (6.23) с учетом (6.25) и (6.26):

1-1

Яп = аТ,--i:{t-M-l)i-\ (6-296)

При рассредоточенном расположении элементов можно положить в (6.22) и (6.23) /,=:inv = /o площади каскадов подбирать с учетом (6.1). Тогда вместо (6.25), получим

= (6.27)

Если форма элементов совершенно одинакова (5=5 = inv), то это условие удовлетворяется соответствующим увеличением числа элементов в более «горячих» каскадах.

Расчет каскадной термобатареи. Из изложенного выше ясно, что для осуществления интересующего нас экстремального режима необходимо и достаточно построить батарею с соблюдением условий (6.11) и (6.25) или (6.27) и подвести к каждому элементу i-ro каскада напряжение

Vi={l-t") /=1,2,..., л. (6.28)

Последнее требование вытекает из совокупности условий (6.12) и (6.16).

При выполнении указанных трехусловий на границах между каскадами устанавливаются экстремальные температуры в полном соответствии с требованием (6.16), а холодильный коэффициент системы достигает своего максимального значения, определяемого формулой (6.18).

Величина холодопроизводительности компактной батареи может быть найдена из формулы (6.22) при /=1, которая, после подстановки в нее (6.26), приводится к виду

Qo=OTq-,- (6.29а)

1 /"+1