Таким образом, условие (5.21) сохраняет силу при использовании многокаскадной батареи.

Подставляя (6.11) в выражение для [л, определенное формулой (6.3), легко заметить, что из него выпадают все R, С другой стороны, подстановка (6.11) в (6.1) приводит к появлению в каждой из формул (6.1) соответствующего

отношения р" (/=1, 2, 3, п-1). Таким образом, 1

становится очевидным, что при любых температурах и токах условия стационарности (6.1) могут быть удовлетворены соответствующим подбором сопротивлений термопар в каскадах (их длин или площадей). Следовательно, дальнейшее исследование [л можно вести без связи с условиями (6.1), обеспечив затем их выполнение выбором соответствующей последовательности сопротивлений.

Легко показать, что исследование на минимум величины [л как функции от приводит к условиям, идентич-

ным (5.36):

.• = ТЕ:Т. / = 1. 2, .... /г. (6.12)

что, в совокупности с (6.11), обеспечивает работу каждого термоэлемента каскадной батареи в режиме максимального холодильного коэффициента. Дальнейшее исследование, которым мы займемся ниже, имеет своей целью отыскание экстремальной последовательности температур и построение на этой основе расчета каскадной батареи и ее экономических характеристик.

Если, в соответствии с (5.25), положить . =а7; </ = 1, 2, п), то все термоэлементы будут работать в режиме максимальной холодопроизводительности. Экстремальная последовательность температур в этом случае оказывается такой же, как и в предыдущем, однако использование двух и большего количества каскадов приводит не

Если теперь вставить в эти формулы [л из (6.6) и раскрыть в явном виде Qq и Q, использовав формулы типа (5.18), то, выполняя дифференцирование, получим

/=-1, 2, .. ., /г. (6.11)

Условия получения минимума функции р. (Гр Т, .... Т {) записываются в виде системы п - 1 уравнений:

i-l п

Л1(Л12-1)(Г;+,-Г,)Х[у П }

dTi {TiM - TixYiTiM-TiY u-xii+v -

i=\, 2...../1-1. (6.14)

Решая ее, находим

TiVt~J\, /=1.2.....n-1. (6.15)

Таким образом, минимум p.(Ti, Т, .... Т{) достигается в том случае, если последовательность температур Т подчиняется следующей закономерности:

T = TQt\ / = 0. 1. 2.....п, (6.16)

где t=

Это и есть искомая экстремальная последовательность температур. Анализируя уравнения (6.14), легко заметить, что

в точке экстремума -> О и, следовательно, условие (6.15) дТ

является условием минимума р..

К увеличению, а к уменьшению холодильного коэффициента, еще более понижая и без того незначительную экономичность этого режима.

Поэтому ниже мы ограничимся рассмотрением случая, в котором каждый элемент в отдельности и вся система в целом имеют предельно высокий холодильный коэффициент (при данных Tq и Т).

Экстремальная последовательность температур и экономичность каскадной батареи. Если, в согласии с предыдущим, di и di удовлетворяют условиям (6.11) и (6.12), то, используя (5.38) и (6.2), получим из (6.3) -

Непосредственно из (6.16) вытекает важное соотношение, инвариантное по отношению ко всем каскадам:

(6.17)

Сравнивая (5.38) и (6.17), легко заметить, что в рассматриваемом экстремальном режиме холодильные коэффициенты

всех каскадов одинаковы.

Подставляя (6.17) в (6.13), имеем

/Г 7.5

Рис. 13.

(6.18)

Этой формулой определяется минимальное значение р. при данных t -А п.

Из формулы (6.18) следует, что при любом я, так же как в случае одного каскада, К-->оо, если 1. На рис. 13 показана зависимость К от t при разном числе каскадов. При любом конечном числе каскадов К обращается в нуль (р = сх)), если ДГ достигает предельного значения ДГщах- Вместе с тем обращает на себя внимание тот факт, что максимальная величина t резко возрастает с увеличением числа каскадов, согласно формуле

trm. = M\ (6.19)

При п~>оо шах-ос, следовательно, применение каскадной системы широко раздвигает пределы охлаждения. Кроме

того, дифференцируя (6.18). легко показать, что < 0.

Поэтому при любом фиксированном t холодильный коэффициент тем больше, чем больше число каскадов п. Последнее обстоятельство оправдывает тот интерес и внимание, с которым многие авторы [25, 31, 32. 33] отнеслись к потенциальным