Ucikh)

контур упреждения по опорному значению

R{q)

m(kh)

контур упреждения по возмущению

-ип{Щ

технический процесс

wikh)

1 уЩ

-upBikh)

S(q)

Rig)

контур обратной связи

Рис. 6.25. Обобщенный дискретный регулятор с упреждением по опорному значению и возмущению

6.8.3. Частные случаи обобщенного дискретного регулятора

Если регулятор [уравнение (6.46)] учитывает только ошибку выходной переменной e(kh) (ср. рис. 6.2), то полиномы T(q) и S(q) равны

R(q) u(kh) = T(q) [u(kh) - y(kh)] = T(q) e(kh) (6-51)

Если сравнить полученное выражение с описанием ПИД-регулятора, то очевид но, что дискретный ПИД-регулятор фактически есть частный случай обобщенного дискретного регулятора. Другим важным случаем является компенсация запаздыва ний; регулятор Смита (раздел 6.7.1) также можно представить в виде обобщенного дискретного регулятора.

Дискретный ПИД-регулятор

Пропорциональный регулятор [уравнение (6.21)] - это простой частный обобщенного регулятора. Его уравнение можно записать так

u(kh) = К e(kh) = К u,(kh) - К y(kh)

г. е. R(q) = l,SQ-K,tQ=K.

Уравнение ПИД-регулятора можно переписать в следующем виде

u(kh) = -ц- u[{k - 1)/г] - Г2 • и{{к - 2)/г] +

+ 0 • ujfih) + u[{k- \)h] + 2 • u[{k - 2)h] -

- 5o • y{kh) - 5i yKk - 1 )Л] - 52 y[{k - 2)h]

случай

уразкение получается из уравнения (6.42) при и = 2. Эквивалентность между 3° „ением (6.52) и дискретным ПИД-регулятором можно показать, если послед-

дописать в сжатой форме с оператором q. Интегральная часть [уравнение (6.22)] „"нимаетвид

u0h) = q- uj(kh) + Ка- e(kh)

а определяется выражением (6.23). Разрешая относительно Uj{kh), получим

K-a-q Uj(kh)-~-e(kh)

Диалогично, дифференциальную часть [уравнение (6.29)] можно записать в виде

uo(kh) = -q- uo(kh) -К--- (1-р) (1--1) • y(kh) где Р определяется выражением (6.28). Разрешая относительно Up)(kh), полушм

./,.4 „ (l-P)-(g-l) ,,,, h q-f,

Так как 0 < 3 < 1, система всегда устойчива. Таким образом, для ПИД-регулятора

имеем

u(kh) = K-

Исключая знаменатель, получим

(9 - 1) • (9 - 3) • u{kh)-K(q-)-(q-i+a-q)-e(kh) -

-K--(i-)(q-if-y(kh) h

"ie{kh)-u(kh)-y(kh).

Простая перестановка членов приводит к [9-(1 + (3)-9 + (3]-гг( г) =

= [i*C • (1 + а) 2 - • (1 + (3 + а • 3) • + ТС • р] • u(kh) -~lKii+a + y)-q~K-(i + + a- + 2y)-q + K-( + y)]-yikh)

«омы 7?, 5 и Гвычисляются следующим образом RpiD(l) = g2 - (1 + Р) <7 + Р

Трю(Ч) = /С.(1 + а)-<72-(1 + Р«Р>-9 + Р (6.54)

Spioiq) - К- (I + а + у) q К + 2у) . q + к +у)

(6.53)

Подставляя q, получим

и[{к + 2Щ - (1 + 3) • u[{k + + р • u{kh) =

= Х- (1 + а) • uJ{k + 2)h]-K-{\ + 3 + а 3) + \)h] +K--u(kh)~

~К-(1 + а + у)у[(к + 2Щ+К-(1 + + а-?, + 2у)-у[(к+\Щ-К-ф + у).ущ

Применив операцию сдвига на два интервала выборки назад, выражение ПИД-регулятора можно переписать в следующем виде

u{kh) - (1 + (3) • и[(к - - (3 • и[(к - 2)h] =

= X• (1 + а) • uikfi) - /С.(1 + (3 + а-р)-ы[(к- + X• (3• u[(k-2Щ- щ

-K-(i + a + y)y(kh) + K-(i + + a- + 2y)-y[(k-i)h]-K-i + y)-y[(k~2)h]

Таким образом, регулятор должен помнить управляющие сигналы, опорныеииз-меренные значения, соответствующие двум предыдущим выборкам.

ПИ-регулятор получается, если положить = О, что соответствует (3 = О иу = о

u(kh) = u[(k -i)h]+K(i + a)- u(kh) -Kuik - 1)/г] -

- K-(i + a)-y(kh)+K-y[(k-i)h]= (6.56)

= и[{к-1)к]+К-(1 + а)-е(кк)-К-е[(к - I)/?]

Если дифференциальная часть вычислена по ошибке управления, то полином]! не меняется, а полином Г становится идентичным полиному 5" (ср. раздел 6.4.1). Относительно уравнения (6.48) можно отметить, что различные варианты ПИД-регулятора добавляют больше или меньше нулей в передаточную функцию контура упреждения, что влияет на поведение всей замкнутой системы.

Связь между параметрами полиномов R, S и Г и собственно параметрами ПИД-регулятора является достаточно сложной. Параметры этих полиномов не имеют явного физического смысла, но оператор и не должен их знать. Настройка ynpaJ ления выполняется с помощью параметров ПИД-регулятора, которые преобразуют ся программой в параметры полиномов К,5иТв соответствии с уравнением (о-

случай

Компенсация временных запаздываний

Экстраполятор Смита (раздел 6.7.1) можно рассматривать как частный обобщенного дискретного регулятора. Его управляющий сигнал зависит нетольк текущих измерений и опорного значения, но также и от изменений управляюшего нала в течение времени, соответствующего запаздыванию в регулируемом про

Из выражения (6.45) ясно, что полином R должен иметь достаточный пор чтобы учесть временной сдвиг, равный по крайней мере времени запаздывания Je Другими словами, время, эквивалентное п, интервалам выборки (пр - тепень нома R), должно быть больше, чем время запаздывания процесса Telai/- 1г.И значения измеряемой величины и дискретные значения управляющего си должны быть доступны по крайней мере в течение интервала Т,. д,;.

Обычно в промышленных приложениях интервал выборки устанавливаете чтобы время запаздывания T/iay превосходило его не более чем в пять раз, т. е-пень полинома R меньше или равна пяти.

запаздывания, связанного с выполнением вычислении, у дискретного а такое же, как и у ПИД-регулятора (раздел 6.5.7). Это запаздывание дол-регУ- значительно меньше интервала выборки.

влияние ля

быть

4 Критерии качества дискретного регулятора

д5обшенном виде дискретный регулятор можно настроить так, чтобы он удов-ял различным качественным и количественным критериям. Если рабочие характеристики замкнутой системы известны заранее, их можно использовать как ба-датй критерий для оценки регулятора. В то же время этот критерий не учитывает "явной форме влияние возмущений. "Классический" критерий для управления - из.меренные значения выходных величин должны как можно меньше отличаться от опорных. Этот критерий математически формулируется следующим образом

1

Jm.---Zc(kh)~y(kh)f

приЛ"* °°. Такой подход известен как критерий минимальной дисперсии (minimum татпсе criterion). Показатель, вычисленный по той же формуле, но без деления на Л, называется суммарным квадратичным отклонением {quadratic control area). В обоих случаях параметры регулятора [уравнение (6.45)] настраиваются, чтобы минимизировать соответствующий показатель.

Критерий минимальной дисперсии или другой интегральный критерий может привести к неограниченным (математически) управляющим сигналам. Во всех ре-шьных приложениях управляющий сигнал должен быть ограничен, чтобы, напри-Щ, избежать износа исполнительных устройств. Ограничения на поведение регулятора можно учесть введением весового коэффициента р

1

Л = Т, • liicm - y{kh)f + р u\kh)

ftnct РиРий называется квадратичной функцией стоимости (quadratic cost ния быстро возрастает при увеличении управляющего сигнала. Закон управ-щ который минимизирует , называется линейным законом управления, ми-Ю(ц5"РУ°Щим квадратичное отклонение (linear quadratic control law); соответству-

регулятор можно описать в терминах обобщенного регулятора, чые """"""s- все регуляторы, которые были упомянуты выше, включая адаптив-тур5 представить в форме уравнения обобщенного регулятора (6.45). Струк-

Равл Р обобщенного регулятора не зависит от его сложности и стратегии "*й кач Вначале выбираются стратегия управления и соответствующий крите-ства, а уже на их основе определяются параметры обобщенного регулятора.

S,9 р

еализация обобщенного дискретного регулятора

"Hjfn"" Р-изации ПИД-регулятора рассматривались в ра.зделе 6.5. Часть из "Ч1ать" только ПИД-регуляторам, а другие имеют общий характер и должны ВЫб* любого регулятора. Общие проблемы включают определение интерва-°РКи, ограничение управляющего сигнала и скорости его изменения, инте-

тральное насыщение и плавный переход от ручного управления к автоматиче Все они рассмотрены здесь еще раз применительно к обобщенному регулятору В этом разделе приведен также пример программы обобщенного регулятора реждающим управлением по опорному значению и измеряемым возмущениям программа предназначена для того, чтобы проиллюстрировать различные ко ции, и поэтому далеко не оптимальна. Принято, что параметры полиномов R s т известны. Из текста программы ясно, что оператор сдвига q - это просто сохране предыдущего значения сигнала. Из-за того что параметры полиномов i?, 5и Гн "" комы большинству инженеров, объяснено преобразование параметров ПИД-реп, * тора в коэффициенты этих полиномов.

6.9.1. Пересчет параметров

Преобразование параметров ПИД-регулятора в коэффициенты полиномов R s и Гсуммировано ниже. Полиномы для ПИД-регулятора задаются выражениями

%d(9) = -(1 + P)- + P

Трю(ч) = K-(i + a)-q-K-(i + + a-)q + K- [повтор (6.54)]

SpjD(q) = K(i + a + y)-q-K-(i + + a- + 2y)q + K-(?,+y)

-- , Y = /-(l-P) [повтор (6.23), (6.28), (6.53)1 Ti+h-N h

соответственно, параметры обобщенного дискретного регулятора Г1 = -(1+р) Г2=р

SQ = K-{\ + a + y) = -К-{\ + + а- + 2у) sK-i + y)

tQ = K-{\ + a.) t = -K{\ + + a-) t2-K-

6.9.2. Предотвращение интегрального насыщения обобщенного дискретного регулятора

Как уже указывалось, из-за ограниченности управляющего сигнала может воз никнуть интегральное насыщение (раздел 6.5.4). Следовательно, в вычислительн процедуре должна быть предусмотрена такая возможность.

Первое общее решение для предотвращения интегрального насыщения былопр ведено в [Astrom/Wittenmark, 1990]. Выходной сигнал до ограничения вычисляет по следующему выражению, которое соответствует несколько преобразованно . уравнению (6.46)

uikh) = T\q-) U,{kh) - S\q-)-y{kh) + [1 - R\q-)] u{kh) (-

В результате ограничено в соответствии с выражением (6.34). В уравнении (6-5 амплитуда управляющего сигнала сразу корректируется так, чтобы она оставалась заданных пределах. Для частного случая ПИ-регулятора эта процедура ограничен такая же, как была приведена раньше. Однако для ПИ-регулятора в уравнении (6-

оказано, что коррекция насыщения требует более чем одного интервала вы-бы-"" заставляет регулятор работать более плавно. То же относится и к обоб-

° ндому регулятору.

Уравнение (6.46) преобразуется следующим образом

J(l) . u{kh) - T\q-) u,(kh) - S\q-) y(kh) + [Al(q-) - R\qb] u{kh)

.*/-!) полином, который называется наблюдателем {observer), определяет, oVko быстро корректируется режим насыщения. Тогда обобщенный регулятор "компенсацией насыщения записывается в следующем виде

Aliq-) uikh) = T\q-) u,(kh) - S\q-) y(kh) +

f [Al(q-) - R\q-b] kh)

(6.58)

(&59)

щ{Ш) = - «01 • " • "/) - - - 4n • • +

+ tQ uikh) + q u,(kh) + ... + t„ q-" u,(kh) -- Sq y(kh) - si • q y(kh) - ... - s„ • q~" y(kh) +

+ [«01 - i] (kh) + - + [aon - u(kh) Таким образом, сигнал u(kh) ограничен в соответствии с выражением (6.34).

6,9.3. Плавный переход от ручного управления к автоматическому

Проблема плавного перехода от ручного управления к автоматическому была рассмотрена в разделе 6.5.5. В принципе, когда происходит переключение режимов работы, величина управляющего сигнала должна устанавливаться вручную. Общее решение этой проблемы - при каждом переключении имитировать ввод выходного сигнала регулятора, равного текущему выходному значению, установленному вручную.

•4. Вычислительные особенности алгоритма обобщенного регулятора

Рассмотрим в деталях, как вычисляется u(kh). В момент времени kh компьютер (бЗоГ* значения сигналов u(kh), y(kh) и w(kh); остальные члены уравнения Щен ""-ьиающего дискретный регулятор, к этому моменту уже известны. Обоб-йЬ1й регулятор можно записать в следующем виде

u(kh) = tQ uikh) - 5о • y(kh) - Vq w(kh) + x[(k - 1 )h] (6.60)

x[(k - 1)Л] = - • u[(k - 1)/г] - - - r„ u[(k - n)h] + + u,[{k - 1)A] + ... + t„ u[(k - n)h] -

- 1 • y\<k - 1)] - - - „ • y\.{k - n)h] -

- «1 • w[(k - 1)] - - - »m • w[{k - m)h]