Оператор обратного сдвига q {backward shift operator) сдвигает функции мени на один шаг назад

q--z{kh)-z[{k-i)h]

В общем случае оператор сдвига можно применять несколько раз

9" z{kh) -qq-...q- z(kh) = z[(k + n)h]

Оператор сдвига q можно применять и к вектору x{kh), что эквивалентно испо зованию этого оператора к каждому его компоненту.

Если существует дискретное представление в пространстве состояний [ущ нения (3.9) и (3.10)], то, исключив вектор х и приведя подобные члены, получи» связь между входом и выходом в виде

y[(k + n)h] + «1 • y[(k + « - 1)А] + ... + а„ • y{kh) = bQ u[(k + n)h] + ... + b u(kh)

Применение оператора сдвига дает более компактную запись

(q" + «1 • "-1 + ... + а„) • y(kh) = (Ьо • + Ai • + ... + А„) u(kh) (3.13)

Выше было показано, что зависимость между входными и выходными переменными линейной системы можно представить передаточной функцией G(s), определяемой как отношение изображений Лапласа входных и выходных сигналов системы. Аналогичное описание можно получить с помощью оператора сдвига q и для дискретных систем. Дискретный передаточный оператор H(q) (discrete transfer operator) определяется из уравнения (3.13) следующим образом

y(kh) b,-q» + b,-q"- + ... + b„ u(kh) q" + a- q"- + ... +a

(3.14)

Выражения в обеих частях уравнения (3.13) можно сдвинуть на п периодов назад, что эквивалентно их умножению на q~". Тогда отношение вход/выход выражается в виде

y(kh) + а y[(k ~i)h] + ... + а„ y[(k - n)h] = Ag • u(kh) + ... + i„ • u[(k- n)h]

Используя оператор обратного сдвига, это отношение можно записать проще

(1 + «1 -1 + ... + а.-") .y(kh) = (Ьо + b-q + ... + b„q-») u(kh)

Соответствующий дискретный передаточный оператор имеет вид

Я*(.-1) = bo + b,-q~+... + b„q-" 35)

u(kh) i + а q~ + ... + а„-q"

Если числитель и знаменатель уравнения (3.15) умножить на q", то в результат получим уравнение (3.14), т. е. H*(q-i) = H(q).

Дискретный передаточный оператор можно получить непосредственно из описз ния в пространстве состояний [уравнения (3.9) и (3.10)]. Ниже сформулирован зультат, доказательство которого дается в учебниках по теории управления. Связь между дискретным передаточным оператором и матрицами в пространстве состоЯ НИИ определяется следующим соотношением

Я(,) = Я*(,-)--

С ( 1-ф)-1.Г + 0

(3.16)

и этого выражения q рассматривается как комплексное число, При ""ддляется оператором. Для систем с одним входом и и одним выхо-хотя Ф"Р"""с имеет одну строку, матрица Г - один столбец, а матрица Ф - раз-дом у - Обычно матрица D нулевая, что означает отсутствие алгебраичес-мерность п физических) связей между входом и выходом технического

ких (т- е- "Р"

процесса. .дучае, как и для непрерывной передаточной функции, коэффици- означно определяются из внутреннего описания в пространстве состояний, енты 0Д"° поскольку вектор переменных состояния х можно сформировать, ис-Аналогивд варианты представления, из H{q) можно получить множество раз-пользу Р ф Y СиВ. Описание системы в виде передаточного оператора явля-пичных матриц i

ется однозначным, а с помощью матриц переменных состояния - нет. Пример 3.17

Дискретное описание механической системы в пространстве состояний

В качестве примера дискретного описания в пространстве состояний рассмотрим еще раз механическую систему из примера 3.11 (раздел 3.3.2).

Сначала определяется шаг выборки h. После этого можно вычислить матрицы Ф и Г

ф = еАЛ = 1 + А/г + (AA)2 + ... =

и h О 1

r = (lh+Ah + ...)B-

Дискретная модель механической системы приобретает вид

x[ik+i)h]

l h О 1

x(kh) + -

u{kh)

y(kh)с x(kh) - (i O)-x(kh)

Теперь передаточный оператор можно вычислить, используя уравне-46(3.16). Заметим, что q мы рассматриваем как комплексное число. Тогда

Iq-i -h \ 2т h q+1 H(q) = (10)

О q-1

h \mj

2m (q-Xf

Глава 3. Описаниетжвявиирование,

Это выражение можно переписать в следующем виде

т 2

{q-2q+\)-y{kh) = --{q+\)-u{kh)

или,подставляя q, т 1?

Аналогично, со сдвигом по времени на 2h

y{{k + 2)h] - 2y[(k + i)h] +y(kh)] = - • [u[(k +i)h]+ u{kh)

75 • \y{kK) - 2y{(k - \Щ +y{{k - 2)/г]] = - • \u\{k - \Щ + u[(k - 2)h]

Это дискретная модель механической системы. Выполним для сравнения простую разностную аппроксимацию непрерывной модели, описанной в примере 3.2 (раздел 3.2.1). Разностная аппроксимация назад дает т

y(kh) - 2y[(k -\)h]+ y[(k - 2)h]] = u{kh)

a при разностной аппроксимации вперед имеем т

y[(k + 2)h] - 2y[(k + i)h] +y(kh)] = u(kh)

Аппроксимации, полученные разностями вперед и назад, аналогичны и отличаются сдвигом по времени на 2h. При малых значениях h дискретная модель в пространстве состояний стремится к разностным аппроксимациям.

Таким образом, для того чтобы получить дискретную модель аналоговой системы мы можем использовать два способа. Первый - аппроксимация исходных уравнения разностными [уравнение (3.9)]; если исходная система линейна, то Ф и Г можно получить из А и В. Второй - получить передаточный оператор Яна основе дискретног" описания системы в пространстве состояний с помощью уравнения (3.16).

Ранее отмечалось, что полюса непрерывной модели идентичны собственным чис лам матрицы А. Аналогично, полюса дискретной модели системы идентичны со» ственным числам матрицы Ф.

Рассмотрим непрерывную систему первого порядка

dx dt

= -а- x

При я > О система устойчива и сходится к нулю независимо от начальных ВИЙ, т. е.

x(t) = е" х(0) Дискретное описание системы имеет вид

ofTKoueHKaH наблюдаемость

{k + \)h

x(kh) = Ф • x{kh)

о no что пооизведение а h стремится к нулю. Тогда ф стремится Пусть означает, что состояние системы между последовательными

ly означает, что сисюямис lucicividi тлц,у liuijiCAUDai сльными

физичес изменяется очень незначительно. С другой стороны, если h моментами .. нулю. Это означает, что между двумя выборками систе-велико, то Ф ничего не "помнит". Поэтому очевидно, что интервал выборки h ма "Рддачением коэффициента а и должен выбираться так, чтобы избежать

связан со 3 пршения Определение интервала выборки подробнее обсужда-неустоичивос1и

собственные числа \ матрицы А соответствуют собственным числам е матри-, ф Для вышеприведенного примера системы первого порядка мы видели, что для ""устойчивости необходимо и достаточно, чтобы собственное число (-а) было вещественным и меньшим нуля. Соответственно, для дискретной системы собственное число е" будет лежать в диапазоне вещественных чисел от О до 1.

Колебательная система второго порядка имеет собственные числа -а ±70). Колебания будут устойчивы при о > О (раздел 3.3.4). Соответствующие собственные числа дискретной модели суть е-ол-ь/шй -о/г-ушЛ Очевидно, что, поскольку мы рассматриваем одну и ту же физическую систему, эти собственные числа соответствуют тому же самому колебательному процессу, но только наблюдаемому в моменты времени с интервалом h. Заметим, что при о > О собственные числа дискретной модели расположены внутри единичного круга.

Приведенные примеры уравнений первого и второго порядков можно обобщить для систем более высоких порядков: если собственные числа - и, соответственно, полюса - дискретной модели расположены внутри единичного круга, то система устойчива. Таким образом, внутренность единичного круга соответствует левой части комплексной плоскости для непрерывных систем.

3-5. Управляемость, оценка и наблюдаемость

дая техническая система обладает несколькими фундаментальными характе-

Ристиками, которые требуют особого внимания. "5-1. Управляемость

ет, имеет" °У) " это характеристика системы, которая показыва-"тобы система достаточное количество регулируемых параметров для того,

если требуемым образом. Грубо говоря, система является управляе-тпгла за " подобрать такие управляющие воздействия и, чтобы система дос-"Исобст состояния X. Только тогда, когда система управляема, ее полюса "•тава 6) ""с числа) можно произвольно перемещать с помощью обратной связп Ее

""Ь1 от неуправляем, это означает, что части системы физически отсоеди-

•еющед вляющих сигналов и. Проиллюстрируем этот случай для системы, не ""-Иия). g 5 собственных чисел и полюсов (все полюса имеют различные

зна-

акой системе переменные состояния можно разделить, т. е. представить ее

или в матричной форме

при Xj для всех г j.

Такая запись называется диагональной, а состояния в такой системе - собственный колебаниями (natural oscillations modes) (раздел 3.3.4). Управляющие сигналы влияютш каждую переменную состояния по отдельности. В управляемой системе все элеменп матрицы В - ненулевые, в противном случае переменные состояния, соответствующи! нулевым элементам матрицы В, не могут регулироваться сигналами управления. Значе ния таких переменных будут определяться только свойствами системы.

Аналогичные рассуждения можно провести и для дискретной модели. Если вс собственные числа различны, то уравнение принимает диагональный вид

x[(k+i)h]-

/Х,0 ...0\

о К2 - о

x(kh) +

Точно так же как и в непрерывной модели, для того чтобы система была управляемой, все 3j- должны быть ненулевыми.

Управляемость линейной системы на базе непрерывной и дискретной модел" можно проверить математическими методами. Однако никакие математические Mf тоды не могут заменить понимание физической природы процесса инженером-пр" ектировщиком. Например, часто бывает, что некоторые параметры плохо управл мы, т. е. значения соответствующих коэффициентов малы. И хотя формаД система управляема, реальный регулятор, пригодный для практического испоД вания, создать невозможно.

3.5.2. Оценка состояния на основе измерений

Вторая характеристика системы связана с измерениями и наблюдением. ляет ли имеющийся состав датчиков получить достаточную информацию о с НИИ системы? Возможно ли косвенным образом вычислить весь текущий v стояния x(t), если известны текущее и предыдущее значения выходного с у(0? Эта характеристика называется наблюдаемостью (observability).

В больщинстве случаев состояние системы не измеряется непосредст т. е. число датчиков меньше числа переменных состояния. Однако часто ваЖНО

состояния X, даже если адекватные датчики не существуют или про-полный вект др]д определенных условиях можно вычислить вектор состоя-сто •""Qgg измерений у. В последующем х будет обозначать вычисленный век-ния X на осн поскольку он может отличаться от реального.

тор у5,5сления неизмеряемых переменных состояния можно использовать про-оценки (estimator), причем как для непрерывных, так и для дискретных моде-цедУРУ рассмотрен алгоритм оценки для дискретной модели, поскольку его можно лей. ,j.ggo применять в компьютерном управлении. Оценка состояния факти-"*"°является описанием технического процесса разностными уравнениями (3.9), Гкоторые введен дополнительный член для корректировки оцениваемых переменных на основе измерений у

x{(k + 1)/г] = Ф • ЧШ) + Г • u(kh) + К • [y(kh) - С • x(kh)]

(3.17)

Матрица D [уравнение (3.10)] в большинстве случаев - нулевая. Если система имеет только один датчик, тогда К является вектором, в противном случае - матрицей. При "отличной" оценке х и х совпадают и последнее слагаемое в уравнении (3.17) равно нулю, так как у = С • х. Оценка будет подчиняться тому же динамическому уравнению, что и истинный вектор состояния х [уравнение (3.9)]. Поскольку X отличается от х, последнее слагаемое, т. е. разность между реальным измерением у и его оценкой С • х, используется для коррекции ошибки. Матрица К есть весовой коэффициент, определяющий качество оценки. Работа алгоритма оценки иллюстрируется рис. 3.17, где показано, как выход модели С • х постоянно корректируется измеренными значениями у. Если К выбран правильно, то х сходится к х.

вход

процесса

технический процесс

выход процесса

алгоритм оценки

омпыотер

вика состояния по всем переменным технического процесса