значения матрицы Ро; X (Qo) - минимальное собственное значение

матрицы Qo; il =Bo(K2ll 1е + В 1-НН- o2) + lI + + ВоВ11

Таким образом, в электромеханической системе, у которой уравнения (8.21) компонент измеряемой части вектора состояния являются линейными, стационарными с известными коэффициентами (Oj = 0), алгоритм адаптивно-модального управления (8.23), (8.26), (8.35), (8.36) обеспечивает экспоненциальную диссипативность процессов управления и идентификации состояния с оценками предельных множеств вида (8.42) и (8.34) соответственно. Если Ф О, то указанный алгоритм обеспечивает достижение одной лишь цели идентификации, а цель управления оказывается недостижимой.

Конкретизируем разработанный алгоритм применительно к следящим системам. Поскольку в следящей системе с БМП, в которой измеряемая переменная состояния представляет собой угловое положение механизма или двигателя, 0 = О, разработанный адаптивно-модальный закон управления с редуцированным адаптивным наблюдателем позволяет обеспечить достижение как цели идентификации, так и цели управления. При этом в уравнениях (8.21) и (8.22) Ац = О, Aai = (О . . . 0)", в силу чего они принимают вид:

y = Ai2W+Biu; (8.43)

w = A22W-4-BaU-f02(. 0. (8.44)

а редуцированный адаптивный наблюдатель описывается уравнениями

I у = (Агг -LAi2)w + (B2-LBi)u-z;

(о.45)

,w = v-4-Ly,

причем переменные z и и, как и прежде, вырабатываются по алгоритмам (8.26) и (8.35).

Расчет следящей системы с адаптивно-модальным управлением рекомендуется проводить по следующей методике, предложенной Н. С. Благодарным.

1. Составляется математическое описание следящей системы в форме уравнений (8.43) и (8.47), т. е. определяются матрицы Аа. А22. Bi и Вг линейного стационарного приближения системы и вектор невязки «Та (Xi О из условия возможной кратности изменения параметров системы в процессе работы.

2. Задается желаемое (эталонное) движение системы в виде уравнения (8.19), т. е. задаются элементы матриц А„ и В„. С этой целью можно задать тип желаемого характеристического полинома системы Ож (р) исходя из представлений о желаемом характере переходного процесса в линейной системе - и требуемым значением среднегеометрического корня сОо, определяющим полосу про-

пускания или быстродействие замкнутой линейной стационарной системы.

3. Вычисляются элементы матрицы линейной обратной связи К и элементы матрицы Кв с целью выполнения условий BqKb = Вм и Ао-ВоК = Ам. Если выполняются приведенные выше условия согласованности по управлению, то это можно сделать по формулам

К = Во" (Ао-Ам), Кв = Во" Вм. При невыполнении этих условий матрицу К всегда можно найти из соотношения det (pi-Ао + + ВоК) = Вж (р), а матрица Кв = Во" В«, как известно, будет наилучшим приближенным решением (по методу наименьших квадратов) уравнения ВоКв = Вм.

4. Рассчитываются значения элементов матрицы L, которая определяет динамику редуцированного наблюдателя. Они рассчитываются по условию гурвицевости матрицы Ан = А22- LAjg и выбираются такими, чтобы полюса наблюдателя Я; (Ан) принадлежали области, определяемой неравенством

max I Re Я; (А„) I > (2 -н 3) max I Re (А„) 1 (• (•

тахНеЯг(Ан) > (2--3) ©о. I

5. Рассчитываются параметры адаптивного алгоритма (8.26), т. е. элементы матрицы Н = P~G, из условия обеспечения минимальной оценки предельного множества Бд области диссипативно-сти процесса идентификации, иными словами - из условия наиболее точной сходимости оценок вектора состояния w, вырабатываемых РАН, к их истинным значениям w. Элементы матрицы Н определяются в процессе поиска минимума функции Бо, зависящей от аргумента Q. Для этого: задаются значения элементов диагональной положительной матрицы Q, при этом без потери общности один из элементов матрицы Q, например первый, можно положить равным единице; из решения уравнения Ляпунова (8.27) определяются значения элементов матрицы Р; находится матрица Р-; вычисляются матрицы Н = P~AI2 и Н+ = (Н Н)" Н; проверяется условие согласованности по идентификации вида (8.30); находятся нормы НН*, Р и о, а также наименьшее Х (Р) и наибольшее А(Р) собственные значения матрицы Р и наименьшее собственное значение X (Q) матрицы Q; - вычисляется значение Бо в соответствии с выражением (8.34).

6. Определяются такие значения элементов матрицы Q, при которых величина б„ минимальна, и рассчитываются оптимальные значения элементов матрицы Н.

7. Вычисляется норма и выбирается значение параметра h

из условия Й>Н*0;..

Расчет по такой методике удобно проводить с использованием ЭВМ.

8.4. Разработка и экспериментальное исследование адаптивной следящей системы с упругим электромеханическим

объектом

Для организации адаптивно-модального управления в следящей системе с упругими связями может быть предложено несколько различных модификаций AMP. Рассмотрим наиболее отработанное техническое решение.

На рис. 8.7 изображена нормированная структурная схема следящей системы с бесконтактным моментным приводом и адаптивно-модальным регулятором, разработанным Н. С. Благодарным и Н. Д. Поляховым. Здесь принята упрощенная математическая модель БМП, т. е. считаются выполненными соотношения (8.16). Механическая часть объекта управления рассматривается как двухмассовая система, в которой в общем случае могут учитываться как упруговязкие явления, так и зазор, имеющийся в кинематической передаче (редукторе). По сравнению с моделью, рассмотренной в гл. 2, здесь структура механической части преобразована к виду, удобному для исследования на аналоговых и цифровых вычислительных машинах, путем устранения операции чистого дифференцирования угла закручивания 9: Mi = cQ + bQ = - сд + b (dd/dA<p) Аа (рекомендовано Б. К- Чемодановым). На схеме <ру и Wp.n - задающее напряжение и передаточная функция регулятора положения, остальные обозначения здесь и далее имеют тот же смысл. Что и раньше. При нормировании в качестве исходных приняты базовые значения угловой скорости ©б, момента Мб, и управляющего напряжения двигателя Муб, что приводит к следующему, разумеется не единственно возможному, варианту выбора базовых значений основных переменных: ©je = «а; «аб == = Асоб = Гсоб, Мдб = Mfi6 = Мб; Мцб = Мсб = М(ф = Шб; вб = Афб = Асйб ; /б = Мб/Сд; Еб = Qcoje; Фгб = (ов; фуб = = д.п ф2б, где йд.п - коэффициент передачи датчика положения.

Коэффициенты и постоянные времени нормированной схемы определяются выражениями:

"-1 -1

" me (Об Мб Сдсоб

Как было показано в § 8.2, наиболее доступными для измерения и пригодными для построения адаптивного наблюдателя координатами следящей системы с БМП являются управляющее напряжение двигателя % и положение механизма ф. При построении наблюдателя зазор в передаче и внешние возмущения, включая трение, не учитываем, относя их к невязке. Пренебрегая малыми постоянными времени усилительно-преобразовательного устрой-