Тогда, вводя обозначение Н = PG, получим

V = - 0,5eQe + (еФННо,-h \ еФН j) + еФ (I - Н Н*) о„ (8.29)

где Н+ = (НН)Ч1 - левая псевдообратная к Н матрица размером р X г; I - единичная матрица порядка г.

Если выполнено условие согласованности по идентификации

(1 -НН+)0, = О (8.30)

и параметр h алгоритма адаптации выбран исходя из условия /I > Н+о,, то, как видно из (8.29), V<0. При этом имеет место асимптотическая устойчивость решения е = О уравнения (8.24) и достигается цель идентификации вида Ите(/) = 0[12].

Однако часто для автоматических систем условие (8.30) не выполняется ввиду того, что не все требуемые для этого компоненты вектора состояния х измеряются. Докажем, что при невыполнении этого условия имеет место экспоненциальная диссипативность процесса оценивания, описываемого уравнениями (8.24) и (8.26), и достигается цель идентификации вида (8.25).

Примем, как и ранее, /i > Н+ ЦоЦ. Тогда из уравнения (8.29) следует (поскольку в правой части среднее слагаемое отрицательно, а также учитывая матричное неравенство II АВ II < АВ) неравенство

V<-0,5eQe + iePv, (8.31)

где v:=jjI-HH- jjo.li;

Используя известные оценки значений квадратичных форм

0,5Л(Р)ер<У <0,5Л(Р)ер и (Q)jep eQe, неравенство

(8.31) можно представить в виде

К аК + Рд/Г. (8.32)

Здесь обозначено: а = К (Q)/A (Р), р = л/2"(р v/vmpt; А (Р) и Х{Р] - соответственно максимальное и минимальное собственные значения матрицы Р; К (Q) - минимальное собственное значение матрицы Q.

Производя подстановку V = и решая вытекающее из (8.32) неравенство р < - (а/2) р + р/2, получаем р (/) < р (0) х Хехр [- (а/2) /1 + (р/а) (1-ехр [- (а/2) /1).

Поскольку, \lt\\P/v(p) • то

1)е(011<1е(0)Г- +JimL 2 v(l r-0(8-33) где II е(0) - норма ошибки оценивания при / = 0.

Из неравенства (8.33) видно, что ошибка оценивания ограничена по норме и по прошествии некоторого времени t > выполняется неравенство е(/)ео, т. е. достигается цель идентификации [12]. Следовательно, процесс идентификации состояния, описываемый уравнениями (8.24) и (8.26), является диссипативным (по определению) с оценкой предельного множества Eq, равной

211РЦ MPL 1 нНII а,. (8.34)

" хт К(Р) "

Теперь покажем, что цель управления (8.20) может быть достигнута, если адаптивно-модальный закон управления объектом (8.21), (8.22) имеет вид

u = KBg-Kiy-K2W+Btn, (8.35)

где Кв - постоянная {т X т)-мерная матрица; Ki и Кг - блоки размером т X р я т х г соответственно матрицы К линейной обратной связи объекта; - правый блок матрицы Во" = (Во Во)"*Во размером т X г; р, - г-мерный вектор сигналов адаптации объекта, который введен в закон управления для компенсации вектора невязки о. Компоненты вектора р, образуются усреднением компонент вектора z с помощью фильтров с малыми постоянными времени > О, t = 1, . . . , г:

тр, + >г = г. (8.36)

Здесь т = diag (т, . . . , т,). Для простоты можно выбирать постоянные времени xi одинаковыми по всем компонентам, тогда в (8.36) т - скаляр.

Уравнение состояния исходного объекта (8.18) с учетом алго-р.итма управления (8.35) запишется в виде

X = АоХ + BoKsg-BoKiy-B0K2W -f ВоКе + <r + ВоВг+ц.

Вводя обозначение! = ВКге + о -Н В0В2" ja, окончательно получаем

i = (A„-BoK)x-f BoKsg + . (8.37)

Элементы матриц К и Кв рассчитываются из соотношений Ао-ВвК = А„ и ВоКв = Ви [для чего требуется выполнение условий согласованности по управлению (I-ВоВ) (А„-Ао) = О и (I-ВоВ) В„ =01. Тем самым формируется желаемая динамика линейного стационарного приближения исходного объекта.

На основании (8.37)С учетом (8.19) уравнение для ошибки управления можно представить в виде

х = А„х + . (8.38)

Для доказательства возможности достижения цели управления (8.20) воспользуемся, как и ранее, методом функций Ляпунова. Зададим функцию Ляпунова в виде квадратичной формы Vq - = 0,5 хРоХ, в которой симметричная положительно опредегеиная (и X п)-мерная матрица Pq является решением уравнения

A;:,Po + PoAm=-Qo, (8 39)

где Qo - произвольная диагональная положительно опрйделек-ная матрица порядка п.

Полная производная функции Ляпунова в силу уравнения (8.38) с учетом (8.39) равна

]/„=-0,5xQoX + xPol.

Прибавив и одновременно вычтя из правой части этого равенстба выражение

ВоВо==Во[ВГ В] °J =BoBOi + BoBto„ перепишем его в виде

Vo - -0,5x"QoX + xPoBoK2e + + хФоВо (BOi + В02+ Btp) + хРо (I -ВоВ-) о, iS 40)

где Bt и Bt- левый и правый блоки матрицы Во".

Предположим, что условие согласованности по идентификации (8.30) выполнено, т. е. имеет место асимптотическая устойчивость процесса оценивания (е->-О при -оо). Пусть к тому же выполняется условие согласованности по адаптации

(l-BoBt)o = 0 (8,41)

и в описании измеряемой части объекта (8.21) отсутствуют параметрические рассогласования, нелинейности и возмущения (о == О, Or = 02). Тогда из формулы (8.40) следует Vo < О- В этом случае система асимптотически устойчива и достигается цель управления вида limx = 0.

Чаще всего в электромеханических системах условия согласованности (8.30) и (8.41) не выполняются. Можно показать, что тогда система с РАН оказывается диссипативной, т. е. алгоритм адаптивно-модального управления (8.35) обеспечивает достижение цели управления вида (8.20), причем оценка предельного множества бц возмущенных движений системы (8.38)

g 211 Poll Ai (8 42)

где К (Ро) и А (Ро) - минимальное и максимальное собственные