управляющих воздействий; А (х, О и В (х, t) функциональные матрицы соответствующих размерностей, непрерывные и ограниченные вместе со своими частными производными; Ф = Ф () - п-мерная функция внешних возмущений, такая, что ф{01КМф, Лф-const.

Полагая, что линейное стационарное приближение объекта (8.17), имеющее вид х = AqX -f Bu, где Ад и Во - постоянные матрицы, известно и для него выполняются условия управляемости и наблюдаемости, перепишем уравнение (8.17) в виде

x = AoX + BoU-f о(х, t), (8.18)

где о (х, t) = АА (х, /) х + АВ (х, /) и + <Р (О ~ вектор невязки, учитывающий нелинейность и нестационарность объекта; А А (х, ) = А (х, /) - Ао и АВ (х, f) = В (х, i) - Вд - функциональные матрицы, верхние границы норм которых могут быть определены.

Отметим, что при записи линейного стационарного приближения для следящей системы с БМП математическую модель бесконтактного двигателя удобно представлять в виде модели коллекторного двигателя постоянного тока, относя имеющиеся в моделях отличия к невязке а (х, t). При этом имеет место достаточно высокая степень приближения описания линейной стационарной части к полной модели (8.18) (т. е. малость нормы невязки) и существенно упрощается практическая реализация адаптивной системы.

Целью управления электромеханическим объектом с описанием вида (8.17) или (8.18) является осуществление программного движения по желаемому (эталонному) закону изменения во времени вектора состояния. Пусть программное движение х„ {i) системы (8.18) удовлетворяет уравнению неявно заданной эталонной модели

x„ = A„x„ + B„g, (8.19)

где g (t) - m-мерный вектор задающих воздействий; Av и В„ - постоянные матрицы.

Необходимо синтезировать такой закон управления и (О, который обеспечил бы сходимость движения х (t) системы (8.18) в некоторую 6о - окрестность относительно программного движения Хм (t). Иными словами, требуется обеспечить выполнение неравенства

х(01Кбо (8.20)

для любых t > ta, где х == х-x« - вектор ошибки управления; /а - время адаптации.

Для достижения цели управления (8.20) в следящей системе будем использовать адаптивно-модальное управление.

Существенное упрощение практической реализации и настройки следящих систем с таким законом управления может быть достигнуто, если в качестве наблюдателя, являющегося основой AMP

(см. гл. 7), использовать наблюдатель не полной размерности, как это делалось ранее, а редуцированный (т. е. пониженного, по сравнению с объектом, порядка). Дело в том, что полноразмерный наблюдатель вырабатывает оценку всего вектора состояния объекта х, включая его измеряемую часть у, что избыточно. Редуцированный наблюдатель имеет размерность, меньшую по сравнению с объектом и полноразмерным наблюдателем на число измеряемых переменных, что упрощает его реализацию и настройку. Поскольку в стедящей системе с БМП наиболее удобными и доступными для измерения переменными являются управляющее напряжение двигателя и положение исполнительного механизма (см. § 8 2), полноразмерный наблюдатель имеет высокий (четвертый) порядок, что неприемлемо из-за сложности его настройки. Вот почему в следяш,их системах с БМП такое большое значение имеет возможность построения адаптивно-модальных регуляторов пониженного порядка.

До недавних пор алгоритмы и методика построения таких адаптивных систем отсутствовали. В связи с этим в данном параграфе решаются вопросы: синтеза редуцированных адаптивных наблюдателей (РАН) и в целом AMP пониженного порядка; сходимости оценок, вырабатываемых РАН, к истинным значениям переменных объекта; достижения цели управления (8.20) и некоторые другие вопросы.

Вектор состояния х исходного объекта может быть представлен как X == [у", wT, где у Rp ~ вектор измеряемых переменных, а W R - вектор недоступных измерению переменных состоя ния объекта (г = п~р). Уравнение (8.18) при этом распадается нз два уравнения:

y-Aiiy-f Ai2W+B,u + Oi(x, 0; (8.21)

w - А21У -I- Ajw + Bu + 02 (X, t), (8.22)

где Ац, Ai2, A21, Aaa и B, Eg ~ блоки матриц Ао и Во соответственно; 0 и Оа - /7- и г-мерные функциональные векторы, составляющие вектор невязки, так что о = [aj, alY. Для получения описания системы в форме (8.21), (8.22) следует, например, перестановкой уравнений, сгруппировать измеряемые компоненты вектора X в верхней части системы (8.18) и разбить матрицы Ао, Во и о на блоки подходящих размерностей.

Редуцированный адаптивный наблюдатель, вырабатывающий г-мерный вектор w оценок неизмеряемой части вектора состояния объекта, построен как редуцированный наблюдатель Люенбергера, в уравнения которого введен г-мерный сигнал адаптации z{t):

V = (А,, - LAi,) W + (А21 - LAll) у -f (В, - LBi) u - z;

(ь.гз)

w = v-4-Ly.

Здесь V R - вектор состояния наблюдателя; L-(/• х р)-мерная матрица, выбором которой задается его динамика.

Из уравнений (8.21) - (8.23) получаем уравнение для ошибки оценивания е - w - w

e = (A22-LAi2)e + 02 -Loi + z. (8.24)

Для обеспечения работоспособности AMP и возможности достижения цели управления (8.20) необходимо обеспечить сходимость оценки W к истинным значениям вектора w, т. е. достичь цели идентификации (оценивания состояния). Цель идентификации считается достигнутой, если по истечении некоторого конечного времени вектор ошибки е (/) по норме не превышает некоторого наперед заданного положительного числа г:

е(011<ео; t>h. (8.25)

Для достижения цели идентификации (8.25) сигнал адаптации наблюдателя z будем формировать по алгоритму вида

z= -hP-iQ sgn Ge, (8.26)

гдеО=А12;Л - расчетный параметр; Р - симметрическая положительно определенная матрица, являющаяся решением уравнения Ляпунова

а;;р+рАи= -q. (8.27)

в уравнении (8.27) А„ = А22-LAj - гурвицева матрица размера г х г, характеризующая динамику наблюдателя (точнее, динамику процессов оценивания состояния); Q - диагональная положительно определенная матрица порядка г, от выбора которой зависит значение оценки предельного множества Ео (размеры области сходимости процесса идентификации состояния).

Покажем, что адаптивный алгоритм (8.26) способен обеспечить достижение цели идентификации (8.25). Для этого воспользуемся вторым методом Ляпунова.

Выберем функцию Ляпунова в виде квадратичной положительно овределенной формы V = 0,5 еРе. Полная производная функции V в силу уравнения (8.24) с учетом (8.27) есть

F=-0,5еОе + еФо, + еФг, (8.28)

где обозначено ctCTj -Loj. Подставим (8.26) в (8.28):

V = -0,5eQe-/I (Ge) sgn Ge + еФо,.

Далее, учтем, что для некоторого вектора f = (fi, . . . , fp). справедливо соотношение F sgn f = f , где (f*(= (fi + . . • +1 fpi