x(z)

Рис. 3.8. Замена операции непрерывного интегрирования (а) цифровым интегратором с компенсацией фазовых искажений (б)

цией (1-е-р») ?, введено корректирующее звено I + o„jTop, где o„j - коэффициент коррекции по фазе. Выражение х (г) получается в виде

X {z)=x(z) 2-4 -р [а„ jx (2>+ (1 ~а„ j) х (г) z], T«i

а соответствующее разностное уравнение записывается как

х(п+\) = х(п)+-

o„jxin+l) + il-aj)x{n)]. (3.8)

о 40

Выбор значения коэффициента коррекции по фазе Ои j приводит последнее уравнение (3.8) к различным формулам численного интегрирования с разными фазовыми характеристиками, в том числе и к классическим формулам интегрирования. Так, при a„j = 1,0, формула (3.8) соответствует методу прямоугольников, а при a„j - = 0,5 - методу трапеций. Фазовые искажения в характеристиках дискретных интеграторов, реализованных в соответствии с выражением (3.8) при различных значениях a„j, по отноще-нию к фазовой характеристике непрерывного интегратора приведены на рис. 3.9, где (О. = Го/(пГ„;)-нормированная частота, которая определяет соотношение между информационной полосой частот п/То и частотой 1/Т„].

A(f Ошибки итезриробания при б„{ =1,0 0 0,8

-0,7.

Рис. 3.9. Фазовые искажения, вносимые цифровым интегратором

Процесс цифрового дифференцирования описывается с помощью передаточной функции, обратной (3.7), т. е.

откуда

x(z) T\i г-1

X (z) То ад jZ-\- \ - Од /

X (z) = - [X iz)~xiz) ГЧ -X (г) z-

а соответствующее разностное уравнение может быть записано как

X (п + 1) = -iAL [X (п + 1)-х (п)]-X (п)-

ТоСТд/ СТд /

Изменение значения коэффициента Од- приводит к получению цифровых дифференциаторов с различными частотными характеристиками. Числовая устойчивость процесса дифференцирования обеспечивается при Од > 0,5, когда 2<1. Характеристики фазовых ошибок в частотной области таких цифровых дифференциаторов по отношению к фазовым характеристикам непрерывного дифференциатора для различных Од также приведены на рис. 3.9.

Разностное уравнение (3.8) при всех значениях а„ кроме сТи; -О приводит к формулам численного интегрирования неявного вида. Поэтому при структурном методе переход от непрерывного алгоритма к дискретному в общем случае связан не только с заменой каждой операции непрерывного интегрирования выражением (3.7), но и с введением временных задержек на такт квантования z~ в те цепи обратных связей, где после узлов сравнения на ДСС стоят интеграторы. Временные задержки в цепях обратных связей являются дополнительным источником ошибок аппроксимации непрерывных алгоритмов. Однако и в этом случае с помощью цифровых интеграторов с регулируемыми частотными свойствами удается обеспечить компенсацию ошибок первого типа. Для пояснения этого предположим, что в ЭВМ требуется реализовать цифровой алгоритм, соответствующий апериодическому звену, на вход которого подается сигнал Аи. Дискретная аппроксимация апериодического звена, выполненная структурным методом, показана на рис. 3.10. Анализ ошибок аппроксимации может быть выполнен на основе сравнения частотных характеристик дискретной передаточной функции

СТи12 + 1 - СТ„1

1Г(2) = --"() -

Дц (2) Го

2 - 1 + г- (a„i2 + 1 - a„i) 1

полученной на основании структурной схемы на рис. 3.10, б, с частотными характеристиками аналогового апериодического звена

б) Au(z)

То <y„fz+i~a,,f

-BHZ!h

Рис. 3.10. Апериодическое звено (а) и его цифровая аппроксимация (б)

С ПОСТОЯННОЙ времени Т. Результат такого сравнения при различных значениях Ои! и TJT = 0,1 представлен на рис. 3.11 в виде логарифмических амплитудных (сплошные линии) и фазовых (штриховые линии) частотных характеристик ошибок аппроксимации. Варьируя коэффициент Ohi, удается обеспечить на частоте МТ амплитудные искажения менее одного децибела, а фазовые - менее трех градусов по сравнению с характеристиками непрерывного апериодического процесса.

Ошибки второго типа, обусловленные характеристиками ЦАП и звена чистого запаздывания с постоянной времени Тм, также приводят к дополнительным, по отношению к непрерывным системам, фазовым искажениям в канале управления (рис. 3.12). Вопрос о возможности пренебрежения ошибками этого типа может быть решен на основе изучения частотных свойств последовательности звеньев

\Гп(/ш)-1Гэ(/ю)е-. (3.9)

Если ввести понятие нормированных частоты = Юоо и времени запаздывания т„: = tJT, то выражение (3.9) при использовании ЦАП с характеристиками экстраполятора нулевого порядка получит вид

(/«*) =

(3,10)

а в случае применения ЦАП с характеристиками экстраполятора первого порядка -

1 - е-!">

(l+/(o,)e-V-

(3.11)

На основании формул (3.10) и (3.11) определим соот-

Рис. 3.11. Частотные характеристики ошибок аппроксимации:

--- амплитудные;----

фазовые