Рис. 3.5. Структурная схема системы с модальным регулятором

На основании этого уравнения можно получить решение для момента времени t == (п + \) Т:

(1+1) г„

:1(п+\)То]=Ф{То)х{пТо) + и{пТо) Ф [(п+1) Го-т Bdt

и после преобразования

х(п+1)Ф (Го) х{п)+и (п) \ Ф (т) BdT,

где Ф (Го) = б"» = if"! [(р1-А)-Ч -- переходная матрица объекта при / = Го, определяемая через обратное преобразование Лапласа.

г То

S Ф(т)т

Если обозначить А* = Ф (Го), В* тическое описание объекта приобретает вид

х{п+ 1) = А*х (п) + В*ы (я).

В, томатема-

Переходя от разностного уравнения к изображениям в комплексной плоскости Z и дополняя его уравнением связи вектора состояния X с вектором измеряемых переменных у, можно записать:

х(г)2 = А*х (2)Ч-В*ц (2);

У(2)==С*Х(2),

(3.3)

где С* = С.

Векторно-матричная структурная схема, соответствующая уравнениям (3.3), показана на рис. 3.4, б. Погрешность рассмотренной дискретной аппроксимации объекта управления определяется характеристиками экстраполятора нулевого порядка и, следовательно, полностью зависит от выбора периода дискретизации Го-Структурная схема, на которой объект представлен матричной передаточной функцией W (2) = g {z)/F (2), а матрица Q* размером 1 X п, устанавливает связь между вектором состояния х и управляемой переменной q (2), приведена на рис. 3.5. Передаточная функция, связывающая в замкнутой системе управляемую пере-

!йенную с управляющим воздействием «у (г), записывается в виде

Гз(2) = -==--.

«У (г) F (2) + kg (2)

где к* == Ikikl ... fen] - матрица коэффициентов цифрового регулятора; F (z) = k*g (2) Н (z) - характеристический полином замкнутой системы.

Известно [491, что реализуя закон управления

Ы(2) = 1з(1)]-ыу-к*х(2) (3.4)

можно поместить корни характеристического уравнения замкнутой дискретной системы в наперед заданное положение на комплексной плоскости Z.

Если желаемые динамические свойства разрабатываемой системы задаются видом характеристического уравнения, в качестве которого рассматривается некоторая стандартная форма

Я»(2)=2« + а„ 12"-+ . . . +aiZ + ao, (3.5)

то коэффициенты обратной связи kl-kn могут быть определены из равенства

Hiz) = H(z).

Один из возможных путей выбора стандартной формы состоит в формировании ее в виде аппроксимации непрерывной стандартной формы. Такой подход вполне логичен при непрерывном объекте управления. В этом случае непрерывную систему можно рассматривать как некоторый эталон, к свойствам которого следует стремиться при разработке цифровой системы управления непрерывным объектом. Если непрерывная стандартная форма имеет п корней pi при г = 1 ... п, то при таком подходе дискретную стандартную форму (3.5) следует формировать как

H°(z)={z~eo){ze») , . . (г-А).

Если для осуществления управления по полному вектору состояния необходимо использование наблюдателя, то он должен быть реализован в соответствии с уравнением

x (2) = А*х (2) -f В*« (2) -f L*[y (2)-С*х (г)],

где L* -- матрица коэффициентов наблюдателя размером п х г. Аналогично тому, как это делается в непрерывной системе, коэффициенты наблюдателя могут быть определены в результате приравнивания характеристического полинома наблюдателя

„(2) = det(2l -A* + L*C*)

стандартной форме На (2). Структурная схема системы с наблюдателем приведена на рис. 3.6.

.rl.

Рис. 3.6. Матричная структурная схе.ча системы с наблюдателем

Для пояснения сказанного обратимся к упрощенной системе на рис. 3.2 с объектом второго порядка. При разделении корней характеристических уравнений системы и наблюдателя корни характеристического полинома замкнутой системы могут быть расположены в соответствии со стандартной формой Баттерворта 2-го порядка Но(р) = 1,414 сОоР+">о- Зтим корням pj.j » - 0,707 С0о± ±/0,707 (0(, на комплексной плоскости г соответствуют корни

Следовательно, дискретную аппроксимацию стандартной формы Баттерворта второго порядка следует сформировать как Я» (2) = (z-Zi) (г-2г) -2-2 cos (0,707©о7о) е-о,707«,т„2 + e-i.4i4a,.r..

(3.6)

В соответствии с рис. 3.2 непрерывный объект может быть описан матрицами:

1 ~1

г 1 1

- 7"„2

а его дискретная аппроксимация

A* = i?-i [(р1 А)-Ч=Ф(Го) =

L0 J L "21-

С=-[0 1],

г г„ 5 Ф (т) dx

«а «12

. «21 «22-

С*--=С = [0 1],