= [1 о

Если в функции (1.32) m О, то = Xi+i, i = 1, . . . , n-l; у = &oJCm+i+ . . . + mXi. Можно показэть, что при этом х„ = = - a„Xi - ... - аХп -+- и, и, вследствие этого матрица А будет иметь тот же вид, что и выше, а матрицы В w С выразятся так:

С-[й„ . . . 0 о , . . 0].

При этом структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. 1.18.

В работах 131, 79] подробно рассмотрены способы получения канонических форм с разложением передаточной функции на простые дроби, простые множители, а также метод, применяемый при аналоговом моделировании.

Передаточные матрицы системы. Научившись составлять векторно-матричные уравнения в форме переменных состояния, теперь необходимо выяснить, как эти уравнения и соответствующие им

е....

1X1+1

Рис. 1.18. Структурная схема, соответствующая нормальной форме уравне-

матрицы связаны с уже известными нам понятиями передаточной функции, характеристического уравнения и т. д. С этой целью применим преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях к уравнениям состояния линейной стационарной системы в форме (1.28):

р\ (р) = АХ ip) + Ви (р); Y (р) = СХ (р).

Теперь вместо векторных переменных х (t), и () и у (t), являющихся функциями времени, мы имеем дело с их изображениями в области комплексной переменной р; в то же время А, В и С - по-прежнему матрицы соответствующих размеров с постоянными элементами. В первом уравнении перенесем АХ (р) в левую часть и, использовав соотношение рХ (р) = р1\ (р) (I - единичная матрица размером п X п), представим уравнение в виде (р1-А) X (р) = = Ви (р). Домножив это уравнение слева на (pl-A), получим X (р) = (pI-A)-i Ви (р). Отсюда Y (р) = С (pI-A)-i BU (р). Обозначив G (р) = (р1-А)-1В; Н (р) = CG (р) = С {р1-А)-В, запишем

y(p) = H(p)U(p); (1.35)

X(p) = G(p)U(p). (1.36)

Матрица Н (р) размером т. у. г (так как Y (р) - это т-вектор, а и (р) - г-вектор), определяемая соотношением (1.35), называется передаточной матрицей вход-выход системы или, как ее еще называют, матричной передаточной функцией. Элемент Нц (р) этой матрицы представляет собой обычную передаточную функцию от /-Г0 входа к i-му выходу. Это сразу становится ясным, если выписать отдельно i-ю строку равенства (1.35), предварительно выполнив умножение на 1) (р):

Yiip) = Hn{p:)Urip)+ . . . +Hu{p)Uj{p)+ . . . + + Huip) и Ар).

Если система имеет один вход и один выход (т = г = 1), то передаточная матрица вырождается в обычную передаточную функцию. В этом случае можно написать Я (р) = У (р)/ (р)- В многомерном же случае такая запись недопустима, так как операция деления на вектор не имеет смысла.

Аналогично матрица О (р) размером п X г, определяемая соотношением (1.36), называе-ся передаточной матрицей вход-состояние.

Найдем передаточную матрицу для рассмотренного выше двигателя постоянного тока. Предварительно напомним, что операция

обращения некоторой квадратной матрицы Ф может быть выполнена, по формуле

det ф

где присоединенная матрица

AdjO =

... А

получается из матрицы Ф заменой каждого элемента (р его алгебраическим дополнением А;; с последующим транспонированием полученной матрицы. Так как

1 О О 1

«я

Р -

det (pi-А) =

Adj (pI-A) =

= p + -"

P+-

L L„