Если элементы матриц А, В, С и D не зависят от времени, то система стационарна, н уравнения в переменных состояния приобретают внд

x = Ax-fBu; y = Cx-fDu. (1.27)

Соответствующая уравнениям (1.27) матричная структурная схема приведена на рнс. 1.17, е.

В качестве примера рассмотрим электродвигатель постоянного тока, описываемый известными уравнениями

м„ = Сдш -f RJ„ + LJiJdt; ci - Mc = Jdildt.

Входными величинами являются напряжение на якоре н момент сопротивления Мс, а в качестве выхода рассмотрим, например ЭДС е = СдШ. Выберем в качестве переменных состояния переменные, стоящие под знаком производной: угловая скорость и и ток якоря 1я. Тогда искомое описание будет иметь вид

dm ~1Г

е = Сд(й.

С использованием рассмотренной выше векторно-матричной записи эти уравнения состояния и выхода выглядят следующим образом:

О

1я J

"я

LMJ"

е = 1сд 0]

откуда

«я

+ 10 0]

Ия Мс

С = [сд 0];

L 1я D = [0 0].

Л в дальнейшем уравнения в форме переменных состояния для (Краткости будем называть уравнениями состояния.

Выбор переменных состояния для каждой данной системы, заданной дифференциальными уравнениями или структурной схемой, яе единственен. ;

Если для выбранного вектора состояния х уравнения системы имеют вид

x==Ax-f Ви; у = Сх, (1.28)

то переход к новой системе координат z (он называется заменой базиса в пространстве состояний) может рассматриваться как результат неособенного преобразования

z = Px, (1.29)

приводящего уравнения системы к виду

z--=-Az+Bu; y-Cz, (1.30)

где А, В и С -матрицы системы в новой системе координат. Термин «неособенное» означает, что матрица преобразования Р - не-<(нная, т. е. det Р фО, так что существует обратная ей матрица Р", и, следовательно, на основании (1.30) можно записать

x-P-iz (1.31)

- соотношение, определяющее обратный переход от z к л:.

Рассмотрим, как матрицы А, В и С выражаются через А, В и С. Для этого подставим формулу (1.31) в (1.28):

P-iz = AP-iz+Bu;

у=ср-ч

и затем умножим обе части первого уравнения слева на Р: z = PAP-»z + PBu; y = CP-iz.

Сравнивая полученные уравнения с уравнениями (1.30), находим

А = РАР-Ч В-РВ, С = СР-Ч

В то время как запись уравнений в переменных состояния по заданной структурной схеме представляет собой задачу со многими решениями, обратная задача - составление детализированной структурной схемы по уравнениям состояния - решается всегда единственным образом.

Каноническая форма уравнений состояния. Возможность выбора переменных состояния (базиса) по усмотрению исследователя имеет важное значение. Часто это позволяет предельно упростить доказательство теорем. Кроме того, специальным выбором переменных состояния уравнения системы могут быть приведены к виду,

наиболее удобному для выполнения расчетов, моделирования и вообще решения различных задач анализа и синтеза.

Канонической обычно принято называть такую фор.му представления уравнений состояния, при которой для задания матрицы А необходима информация о минимальном числе элементов этой матрицы.

Рассмотрим наиболее употребительную нормальную каноническую форму. Будем считать, что система имеет один вход и один выход и что задана передаточная функция

Y{P)

boP" + ft,p"-4-

U(P)

(1.32)

где m <. n (наиболее распространенный в практике случай), а полином в знаменателе нормирован (а = 1), чего всегда можно добиться, разделив числитель и знаменатель на а. Если в передаточной функции (1.32) m = О, то для приведения к нормальной форме в качестве переменных состояния принимаются выходная координата системы и ее производные вплоть до (п-1)-й: Xi = у; х =

= «/,...., х„ = или в

= 1, . . . , п. Отсюда следует, что

общем виде Xi = г/*"",

Xi - Xji,

i= 1,

n-1.

(1.33)

Выражение для х„ можно получить из дифференциального уравнения системы, которое сразу находится по передаточной Функции (1.32):

Хп = У -а„г/ -

„А,- . . . -аХпЛ-Ьи. (1.34)

В соответствии с выражениями (1.33) и (1.34) уравнения в нормальной форме имеют вид

О 1 О