Пусть имеется система п-то порядка, характеризующаяся переменными Xi (t), i = I, 2, . . . , п, изменяющимися, с учетом наличия входных воздействий Uj (t), / = 1, 2, . . . , г, согласно уравнениям

1 = 1,2, . . . , п.

Ur{t); t].

(1.24)

Если выбранная совокупность переменных Xi такова, что, задав их значения в начальный момент времени t = tg и закон изменения входных переменных Uj (t) на интервале I/q. iih можно определить значения xi (t) для любых t из интервала [to, ti], то переменные Xi называются переменными состояния. Множество всех значений, принимаемых переменными Xi, называется пространством состояний. Уравнения (1.24) называются (дифференциальными) уравнения состояний.

Пусть г/й(0. k= I, 2, . . . , /и ~ выходные переменные системы, т. е. переменные, изменение которых по тем или иным причинам нас интересует (в частности, ими могут быть все переменные состояния). Переменные yj всегда могут быть выражены через переменные состояния и входные переменные с помощью алгебраических уравнений

yAOgklxAt),

urity, t].

k=l, 2,

(1.25)

которые называются уравнениями выхода.

Математическое описание системы посредством уравнений вида (1.24) и (1.25) называют представлением в форме переменных состояния. Соответствующая этой форме детализированная структурная схема изображена на рис. 1.17, а. Любая система, имеющая сосредоточенные параметры и, следовательно, описываемая конечным числом обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений, может быть описана в форме переменных состояния.

Для систем с большим числом переменных состояния запись уравнений (1.24) и (1.25) в общем виде может быть сделана гораздо более компактной, если представить их в векторно-матричной форме. Для этого введем следующие обозначения и определения:

-п-мерный вектор состояния;

xx{t) =

y(0 =

"i(0

1/1 (0

- г-вектор входов;

- m-вектор выходов.

l/m(0

По аналогии можно ввести векторные понятия и для совокупностей нелинейных зависимостей, т. е. вектор-функции f {•) н g (•):

g(-)=

Sli-)

8т(-)

В результате уравнения состояния и выхода примут следующий вид:

\ = f(x, и. Л;

1 (1.26)

На рис. 1.17,6 изображена структурная схема, составленная по этим уравнениям. Двойными линиями на ней обозначены векторные величины.

В тех случаях, когда векторные нелинейные зависимости Д (•) и &(•) могут быть линеаризованы, например, путем разложения в ряд Тейлора, они становятся линейными комбинациями переменных состояния Xi и входных переменных uj. При этом нелинейные зависимости приобретают следующий вид:

. . , x„{t)\ ui(0. • • • . Urit); /1 =

fi [Xiit), gk [Xi (t).

-=tau{t)x,ii) + tbiA)u,it);

t = l g-\

. . . , x„{ty, ut), . . . , Ur(t); t]

где t = 1, 2, . . . , «; A = 1, 2, . . . , m; / = 1, 2, . . . , «; == 1, 2, . . . , r; n - число переменных состояния; г - число входов и m - число выходов линейного многосвязного (многомерного)

объекта управления. В этом случае уравнения (1.24) и (1.25) принимают вид

+ V(0«.(0;

. + cAOxn () + U(0«i(0 + d,„,(o«.{0

или в векторно-матричной записи

X (О = А {() X (О + В (/) U (0; у (О - С (О X (О + D (О U (0.

Обозначенные буквами А, В, С и D матрицы имеют следующие названия и смысл:

«11(0 •

А(0-

В(0-

С(/) =

D(/):

bn it) .

Cii(0

dnit)

d.. , (/)

Clnit)

CmniO

d,r(n

dmrit)

- матрица размером n x n (квадратная матрица л-го порядка), называемая матрицей системы. Она характеризует динамические свойства системы;

-прямоугольная п X/"-мерная матрица, называемая матрицей управления. Она характеризует воздействие входных переменных Uj на переменные состояния х;

-mXrt-мерная матрица измерения. Она характеризует связь выходных координат i/ (как правило, это измеряемые переменные) с переменными состояния х;;

-тхг-мерная матрица. Она характеризует непосредственное воздействие входов Uj на выходы у,. В системах, которые будем рассматривать, чаще всего D(/)=0.