есть k/n=l-i/n. Отношение i/n называют также скоростью передачи кода.

Объем п-элементного двоичного кода на выходе канального кодера составляет 2"=2-2, так что достаточно малого числа k дополнительных разрядов, чтобы многократно увеличить объем кода по сравнению с первоначальным. Из нового множества 2" кодовых комбинаций выбирают подмножество из 2* комбинаций* так, чтобы минимальное расстояние d между ними было возможно больше, и приводят эти кодовые комбинации в соответствие первоначальным. Все остальные комбинации п-элементного кода называются за1преш,енными. Комбинация «-элементного кода только тогда может перейти в другую комбинацию, коода в ней ошибочны d битов. Поэтому оШИбка обнаруживается в декодере с уверенностью тогда, когда наивысшее число ошибочных битов в кодовой комбинации fd-1. Для выявления ошибок необходимо, таким образом, чтобы минимальное расстояние d2. Если желательно корректировать ошибки, то при декодировании, как правило, поступают по принципу «максимального сходства»: если принята ошибочная и, следовательно, запрешенная комбинация, то считается правильней та комбинация, которая меньше всего отличается от принятой. Чтобы это решение, называемое коррекцией ошибок, было правильным и не приводило к некоторой другой комбинации, отличной от посланной, при минимальном расстоянии d допуакается ошибка не более чем в е знаках, причем должно быть 2ed-1. Уже для коррекции однократной ошибки (е== = 1) в кодовой комбинации требуется расстояние d=2e--l=3. Так как 2е всегда четное число, то расстояние d должно быгь нечетным, если требуется однозначное и полное декодирование по принципу сходства. Если расстояние d - четное число, то имеются запрещенные комбинации, которые одинаково удалены от более чем одной комбинации.

2.4.4.2. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ КОДОВ С ОБНАРУЖЕНИЕМ И ИСПРАВЛЕНИЕМ ОШИБОК

Для обнаружения ошибок, в особенности при коротких кодовых комбинациях, представляют практический интерес равновесные коды. При этом в качестве комбинаций в «-элементном коде выбирают все наборы с одинаковым весом w; их количество т

w] (и ~w)l

Все прочие комбинации «-элементного кода рассматриваются как запрещенные или - бессмысленные. Примером может служить алфавит № 3 МККТТ [2.26] (табл. 2.6) с семью двоичными эле-

* Называемых разрешенными. (Прим. ред.). 50 - "

Т а б л и ц а 2.6

Пятиэлементный и семиэлементный телеграфные коды: алфавиты № 2

и № 3 МККТТ

- свободны для применения внутри каждой страны, например для национальных знаков; в международной связи не допускаются.

ментами в каждой комбинации, выступающий в качестве кода, исправляющего ошибки, который поставлен в соответствие б-эле-ментному алфавиту № 2. Из общего числа 2=128 возможных двоичных наборов в качестве кодовых комбинаций используются те, которые содержат ло три символа 1 и четыре символа 0. Таким образом, этот код содержит =35 комбинаций. Из иих

32 имеют то же значение, что и ком)бинации алфавита № 2, а остальные три служат в качестве знаков холостого хода а и 3 и запроса на повторение RQ (/практичеокое применение кода рассмотрено в томе 2, разд. 10.4.1). Хотя у равновесного кода минимальное расстояние d=2, однако могут быть обнаружены кроме простых ошибок также и вое кратные искажения одинакового направления, т. е. превращения. О в 1 или 1 в О, из-за связанного с этим изменения*веса. Остаются необнаруженными только искажения четной кратности (трактичеоки, прежде всего, двукратные), при которых .в каждой комбинации возникает одинаковое число переходов как О в 1, так и 1 в 0.

Если яри преобразовании б-элементного алфавита № 2 в 7-эле-ментный равновесный код не составляет труда установить для большинства комбинаций систематическое правило перекодирования, упрощающее реализацию кодера, то соответствие между равновесными кодовыми комбинациями и заданными комбинациями остается, в принципе, еще произвольным (списочное кодирование). В противоположность этому все другие рассмотренные здесь примеры касаются алгебраических кодов. У них к каждой . коЫбина-ции заданного Оппозиционного кода присоединено k избыточных двоичных элементов, которые могут быть рассчитаны по алгебраическим правилам на основе i информационных элементов данной комбинации.

В простейшем случае к заданной кодовой комбинации добавляется знак контроля по четности таким образом, что вес новой кодовой комбинации всегда четный либо всегда нечетный. Минимальное расстояние rf=2, т. е., как уже пояснялось, обнаруживаются простые (одиночные) ошибки. Для каналов с малой вероятностью ошибок достаточно и такого метода их обнаружения, если только малы длины кодовых комбинаций (например, 10). Из-за простоты кодирования (и декодирования) контроль по четности часто проводится в кодере источника, где, например, к комбинациям алфавита № 5, состоящим из семи знаков, добавляется еще один, восьмой [2.24] (см. разд. 2.4.3.2).

Кроме рассмотренных выше простых примеров в многочисленных теоретических исследованиях с применением методов теории групп раэра1ботаны алгебраические коды, которые пригодны как для обнаружения, так и для исправления ошибок, в том числе па-52