ция энергии и отношение pi/p2 не зависит от первоначальной амплитуды, то амплитуда давления экспоненциально убываег с расстоянием х:

lA-HPoe"""- (6.5).

Полное выражение для pi в поглощающей среде тогда равно»

Pi=Pae е (6.6))

p.eI--*-")!. (6.7)

Теперь мы можем определить комплексное волновое число» k=k - /а и подставить k в уравнение (6.7), приведя его к виду уравнения (6.4):

Pi=P>/:"-""- (6.8>

Уравнения (6.4) и (6.8) иллюстрируют тот факт, что уравнение,, применимое к передающей линии без потерь, можно применить и к линии с потерями, если все соответствующие действительные: параметры заменить на комплексные. Под «соответствующими» параметрами мы понимаем те величины, которые за--висят от характеристик среды: р, с, s, k,\ и Zq. Поэтому параметры со, x, t сюда не включаются. Чтобы проиллюстрировать, это на других уравнениях, которые будут использоваться ниже,, рассмотрим выражение для входного импеданса Zi передающей: линии конечной длины х. Если линия без потерь, то

cos kx 4- yZpSln kx cos kx + jZ sin kx

Zi-Zo

(6.9).

где Zt - импеданс нагрузки. Для учета потерь заменим Zo и к на их комплексные значения:

Zi-Zo

Z cos (k - Jo.) x + JZq sin {k ja) x Zq cos (k - ya) x + jZ sin (k - Ja) x

(6.10>

преобразуя уравнение (6.10) и используя известные формулы связи между круговыми тригонометрическими и гиперболическими функциями, получаем

Zj=Zo

Z- ch (а. -Н jk) х4\- Zq sh (а -Н jk) х Zo ch (а + jk) x+Z sh (a + jk) x

Z ch fx -\- Zq sh "(x

(6.11)

(6.12>

Zp ch -x + Zi sh -{x где Y = cc4-/fe. Уравнение (6.12) является известной формулой;

6.4.2. Фактор потерь rj

Любой материал имеет два фактора потерь: г\е и г]р, которые присущи материалу независимо от его размеров, но особенно полезны при измерениях поглощения тонких слоев. При диссипации энергии в упругом материале, претерпевающем сжатие и растяжение, в механическом импедансе или адмитансе материала появляется компонента, связанная с потерями. Фактор упругих потерь щ определяется через мнимую часть упругого импеданса или адмитанса (жесткости или гиб"кости):

s=s{\+rn,) {n,=ns). (6.14)

С=С(1-уЧ) (;.=;.). (6.15)

Когда" фактор упругих потерь обсуждается в общем смысле, будет использоваться индекс е. Когда он используется в специфическом смьГсле, определенном уравнениями (6.14) и (6.15), будет применяться индекс s или с.

Если материал, находящийся Bi движении, обладает вязким сопротивлением, то появляется компонента, обусловленная потерями в его инерционном импедансе. Фактор инерционных потерь Г] р определяется мнимой частью соответствующего инерционного импеданса:

Р=р(1-Угр). (6.16)

Из формул (6.14) (6.16) видно, что все факторы потерь являются безразмерными отношениями сопротивления к реактивному сопротивлению или проводимости к реактивной проводи-мости. Таким образом, фактор потерь подобен величине, обратной Q, где Q имеет обычный смысл отношения реактивного •сопротивления к активному или запасенной энергии к рассеянной.

Из этих формул очевидно также, что комплексные жесткость, гибкость и плотность эквивалентны соответственно шунтирующему импедансу, шунтирующему адмитансу и последовательному импедансу единичной длины акустической передающей линии или толщины пластины. Это соответствие показано на рис. 6.5. Импедансы или адмитансы пластины толщиной х равны

=-£ Сб 17

усох >л: сох • -l

для любой одномерной передающей линии. Из определений k и Y следует, что у=]к\ и тогда

k k - Ja 0) - jac ~ 1 - jalk \ • )

/шСл;=(Ju)Cx)+(wCx%), тх=ОЪрх) + (о)рл;7)р).

(6.18) (6.19)

Выбор положительных или отрицательных знаков в соотношениях (6.14) - (6Л6) становится очевидным из соотношений (6.17) - (6.19). Действительная часть импеданса или адмитанса должна быть положительной!

ЛЛЛг-

А

Рис. 6.5. Эквивалентные схемы акустических передающих линий единичной длины с шунтирующим адмитансом {а), с шунтирующим импедансом (б).

Интересный факт отметил Тамм [1]. Если •Пс=г]р в одном и том же материале, то мнимая часть волнового импеданса исчезает:

(6.20)

7-{ р V--\iz]SL

Если Tjp =ric, тогда

z;=(p/C)/=Ze.* (6.21)

Этот вывод совпадает с аналогичным заключением для электрических цепей, в которых волновой импеданс обращается в активное сопротивление, если i?sc/MLse= Goe/мСое, где Rsc и sc - сопротивление и индуктивность в режиме короткого замыкания, а Goc и Сое - проводимость и емкость Б режиме холостого хода (все для единицы длины).