Поскольку таблица построена, можно забыть о ее геометрическом происхождении. Таблица сама определяет группу. Подчеркнем, что это пример неабелевой группы, так как а*с ф с-«а. Заметим также, что каждый элемент появляется один раз в каждом столбце и в каждой строке. Для конечных групп это выполняется всегда.

Нашим последним примером группы является группа перестановок п букв. Пусть X представляет собой множество {1, 2, п\. Взаимно-однозначное отображение этого множества на самого себя называется перестановкой. Всего имеется п\ таких перестановок, и можно определить группу, называемую симметрической группой и обозначаемую через S, элементами которой являются перестановки на множестве X. (Сначала может несколько смущать то обстоятельство, что элементами группы являются операторы - операторы перестановок на множестве X. На самом деле в примере преобразований равностороннего треугольника речь также идет о группе перестановок.) Если взять перестановку на выбранных целых числах и переставить их еще раз, то получится другая перестановка на этих целых числах. Выберем в качестве групповой операции • такую композицию

где преобразование ABC ВСА означает, что вершина А переходит в вершину В, вершина В переходит в вершину С, а вершина С переходит в вершину А. Таким образом, треугольник поворачивается на 120°. Пусть группа (G, *) определяется множеством

G = \1, а, Ь, с, d, е\

и у-*х является элементом группы, обозначающим преобразование, которое получается последовательным выполнением сначала преобразования х, а затем преобразования у; например,

a*d = {ABQВСА) * {ABCСВА) = {ABCВАС) = е. Поступая таким образом, можно построить таблицу для х*у:

перестановок и возьмем, например, n = 4. Всего имеется 4! = 24 перестановок в группе S. Типичный элемент группы равен

а = [(1 2 3 4) (3 1 4 2)]

и является перестановкой, заменяющей 1 на 3, 2 на 1, 3 на 4 и 4 на 2. Другой такой перестановкой является

Ь = [(1 2 3 4) (4 1 3 2)].

Тогда произведение Ь* а в группе равно перестановке, получающейся в результате применения сначала а, а затем Ь:

Ьа= [(1 2 3 4)- (2 3 4 1)],

что является элементом группы S4. С таким определением умножения группа перестановок является неабелевой группой, содержащей 24 элемента.

Пусть G - группа, и пусть Н - некоторое подмножество в G. Тогда Н называется подгруппой группы G, если оно является группой относительно ограничения операции * на Н. Для того чтобы проверить, что непустое множество Н является подгруппой группы G, необходимо только проверить, что для всех а к b из Н элемент а*Ь принадлежит Н (замкнутость) и что элемент, обратный к а тлз Н, также принадлежит Н. Остальные групповые свойства наследуются из группы G. Как вскоре мы увидим при рассмотрении циклических подгрупп, в случае конечных групп из свойства замкнутости автоматически вытекает даже свойство существования обратного элемента.

Например, множество всех четных чисел и множество чисел, кратных 3, являются подгруппами в множестве всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) относительно операции сложения.

Один из путей построения подгруппы Н конечной группы G состоит в выборе произвольного элемента h группы Н и формировании Н как множества элементов, образованных умножением h на самого себя произвольное число раз. Таким образом, строим последовательность элементов

h, h*h, h*hh, h*h*h*h, ....

обозначая их для простоты через h, h, h?, h, ... . Так как G конечна, то только конечное число этих элементов различно, так что с некоторого момента последовательность начнет повторяться. Первым повторяющимся элементом должен быть сам элемент h, так как если два различных элемента h.и h равны, то их можно умножить на элемент, обратный h, и получить, что h- и h- также равны. Далее заметим, что если hi = h, то h- = 1, единичному элементу группы. Множество Н называется подгруппой, порожденной элементом h. Число с элементов в Н называется 2*

Первый элемент слева в каждой строке называется лидером смежного класса. Каждая строка таблицы называется левым смежным классом, а в случае абелевой группы - просто смежным классом. Если при построении разложения группы на смежные классы использовать правое умножение на элементы группы G вместо левого, то строки называются правыми смежными классами. В силу указанных выше правил построения разложение на смежные классы всегда представляется прямоугольной таблицей, все строки которой полностью заполнены. Докажем теперь, что всегда получается таблица, в которой каждый элемент группы встречается точно один раз.

порядком элемента h. Множество элементов /г, h, h?, h" = 1 называется циклом. Цикл является подгруппой, так как произведение двух элементов такого вида снова является элементом этого вида, а элемент, обратный элементу равен h- и, следовательно, является одним из элементов цикла. Группа, состоящая из всех степеней одного из ее элементов, называется циклической группой.

Для заданных конечной группы G и подгруппы Н существует важная операция, которая устанавливает некоторые взаимосвязи между G и Н и называется разложением группы G на смежные классы по Н. Обозначим через h, h, h, ... элементы из Н, причем через fi обозначим единичный элемент. Построим таблицу следующим образом. Первая строка состоит из элементов подгруппы Н, причем первым слева выписан единичный элемент hi и каждый элемент из Н записан в строке один и только один раз. Выберем произвольный элемент группы G, не содержащийся в первой строке. Назовем его и используем в качестве первого элемента втор&й строки. Остальные элементы второй строки получаются умножением слева элементов подгруппы на этот первый элемент. Аналогично строим третью, четвертую и пятую строки: каждый раз в качестве элемента первого столбца выбираем не использованный на предыдущих шагах элемент группы G. Построение заканчивается тогда, когда после некоторого шага оказывается, что каждый элемент группы записан в некотором месте таблицы. Процесс обрывается в силу конечности G. В результате получается следующая таблица: