ция. Координаты синдрома для зашумленного слова v кода БЧХ задаются следующими равенствами:

Sj=Ia+-v,=v{a+-), /=-1, ...,2t.

Очевидно, что компоненты синдрома вычисляются как 2t компонент преобразования Фурье принятого вектора. Компоненты преобразования Фурье зашумленного кодового слова v = = с 4- е равны Vj = Су + fj, / = О, п - 1, а компоненты синдрома представляют собой 2t компонент этого спектра от /о-й до (/о +2-1)-й. Но, согласно построению кодов БЧХ, спектральные компоненты, расположенные в проверочных частотах (при / = /о, /о +2/- 1), равны нулю: Cj = О для / = /о. ]о +2t- 1. Следовательно,

5; =.1/;+,, , / = 1.....21.

Блок компонент синдрома как бы образует окно, через которое можно наблюдать 2t из п компонент спектра конфигурации ошибок. Но есливес конфигурации ошибок не превышает t, то,со-гласно границе БЧХ, этих 2t компонент синдрома достаточно, чтобы однозначно восстановить вектор ошибок.

Предположим, что произошло v <t ошибок с локаторами

а при k- 1, V. Многочлен локаторов ошибок равен

Л(д:)= П(1 ~xa).

Обратное преобразование Фурье вектора Л вычисляется как значения Л (а-) многочлена Л (х) в точках а-К Ясно, что Л (а-) равно нулю тогда и только тогда, когда i представляет собой позицию ошибки. Таким образом, Л (х) определяется как такой многочлен, для которого во временной области = О при всех Ci Ф 0. Следовательно, Xjej = О для всех i, и, таким образом, по теореме о свертке свертка в частотной области равна нулю:

1]ЛуЯй ,. = 0, = 0.....п-\.

Так как степень многочлена Л {х) не превосходит t, то Лу = О для / > t. Следовательно, t

I AjEk j = 0, k = 0, ... , п- I.

Поскольку Ло ™ 1, эти уравнения можно переписать в виде

Эта система содержит п уравнений, связывающих п - / неизвестных (t коэффициентов многочлена Л (л;) и п - 2t компонент вектора Е) и 2t известных компонент вектора Е, заданных компонентами синдрома. Таким образом, t уравнений

5fe = - Е A,.Sft j, k = t+\, ... ,2t,

содержит только известные компоненты синдрома и t неизвестных компонент вектора Е. Как мы видели в гл. 7, такую систему всегда можно разрешить относительно А, например с помощью алгоритма Берлекэмпа-Месси.

Остальные компоненты спектра S можно получить рекуррентным продолжением, а именно используя выписанное выше уравнение для свертки, вычислить 821+1 по уже известным компонентам S и Л, затем найти S2t+2 и т. д. Это вычисление может быть выполнено с помощью регистра сдвига с линейной обратной связью, весовые множители в отводах которого совпадают с компонентами вектора Л, а начальное состояние задается компонентами синдрома 5i, St. Это позволяет вычислить Sj для всех /; Е] равны 5, /„+1, а Cj = Vj - Ej. Обратное преобразование Фурье завершает декодирование.

На рис. 9.1 приведена блок-схема реализации описанной процедуры декодирования (за исключением преобразований Фурье). Такой декодер может быть использован независимо от того, в какой области реализован кодер: в частотной или во временной. Если кодер реализован во временной области, то для вычисления кодового слова во временной области надо воспользоваться обратным преобразованием Фурье применительно к исправленному спектру, а затем уже выделить из этого кодового слова переданную информацию. Если же кодирование производилось в частотной области, то информационные символы определяются непосредственно по исправленному спектру. В этом случае обратного преобразования в декодере делать не надо.

Вычисления можно организовать многими способами. На рис. 9.2 приведены четыре различные схемы декодеров. Первая схема относится к рассмотренному в гл. 7 варианту декодера. Во второй схеме кодирование осзодествляется в частотной области, так что как только вычислен исправленный спектр, декодирование закончено. Третья и четвертая схемы иллюстрируют тот факт, что, хотя в частотной области с помощью рекуррентного продолжения вычислена конфигурация ошибок, окончательное исправление ошибок можно производить как во временной, так и в частотной областях.

Четвертая схема похожа на первую, хотя их реализации сильно отличаются. Вычисление синдрома аналогично прямому

Начальные значения:

г-г+1

Вычисление соеВующего.еыхойа послейнего фигьшра

Вычисоение нового многочлена связей. Ш которого Лг = 0

L~r-L А(Х) - Г(Х)

В(х) -хВ(х)

; = 0.....п-1

Cmon-ucnpae/ieHue закончено

Рис. 9.1. Частотный декодер.

преобразованию Фурье. Процедура Ченя аналогична обратному преобразованию Фурье. Первая является п-точечным преобразованием вектора с v ненулевыми компонентами и GF (д")-зшчнъш выходным вектором, а вторая представляет собой п-точечное преобразование вектора с п ненулевыми компонентами и GF (<7)-знач-ным выходом. Алгоритм Форни заменяется рекуррентным продолжением. Четвертая схема представляется более простой из-за простоты реализации отдельных блоков декодера.

Конструктивный выбор одной из этих схем частично определяется возможными методами вычисления преобразования Фурье, и поэтому в последнем параграфе главы рассматриваются различ-