§.s коды hohhbl zff

бпрёдёляют кодОЁоё слово. Используя условия сопряженности, приведем систему проверочных уравнений к следующему виду:

c, = (cUc? + cl«) + d + (C5+ci) + (c?+cf + c? + cn +

+ (с„ + с!: + ct, -ь с?,) + + С?5+с!1), о = (Ci + + с?) + (с + + id + Cl) -f (C7 + с?) +

о = Co + (Сз + cl + c*3 + + c) + (ci + cl + cl) + + (Cr + c? -f c + d) + (c„ + c?, + c\\) + cli

o = (c?+c? + cn + (d + c) + (C5 + ci + c+ci) + + (c? + cf) + (C,i + C?i + Cti) + (C?5 + C?5 + c\t),

o = (Ci + ct + cD + (c + cl) + (C5 + ci + c + cf) +

+ (Cr + C\) -f (C?i + C?, + Cl?) + (Ci5 + ch + clf), c = Co + (ct + C?) + (Сз + Cl + Cf) + (Cs + Cl + Cj) +

+ (C7 + cl+cl + c?) + (c„ + c?i + cll) + cji

Рассмотрим решение этой системы во всех подробностях. Сначала возведем в квадрат третье уравнение и разрешим его относительно

С,5 = Со + (Сз -I- С5 + Сз + С«з + С) + id + Ci + Cf) +

+ (Cl + d + С? + c + (c„ + c + cl?).

Воспользуемся этим равенством, чтобы исключить Сц, из остальных пяти уравнений:

= Со + (С? + С? + С1) + (Сз + С1 + СзЧ Cf) + (Cs -Ci + + Cf) + (С7 + Cl + С? + c) + (C„ + Cti + c?,), 0 = Co + (Cl + ct -b C?) + (Сз -\-cl + cf) + id + Ci + C) + + (C7 + cl+c? + cf) + (Cl, + ct, + c?, + cl?).

0 = Co + (Cl + c? + СГ) + (Сз + d + Cf) -f + (C5 + cl + Cs* + ci + C) + (C7 + c + c? + cl) + (C„ + Cn),

0 = Co + (c, + ct+c?) + (Сз + cl-f- Cl) + id + ci + ci) +

+ (C7 + cl + d + cf) + ((fn + ct, + C?i + c}?), c. = (Cl -f. d) -i id+d) + (Cl+cf) -i- (cl,+c?,).

Uf& fji. 8. коды! cnEkti>AJibHbi£ меТйдУ

Четвертое уравнение совпадает со вторым и может быть отброшено. Сложим второе уравнение, третье уравнение и возведенное в квадрат третье уравнение. Это дает

Ci = Со + (Сз -ХС1+ С1) + {С1 + С + С) +

+ (Cr + C?) + (C?: + CJ?).

Подставляя это значение для Ci, получаем следующие четыре уравнения:

c = Cl + {C,-j-Cl-j-Ct + Cf) + {Cy + Cy + Cj + Cf) +

+ (C„-fCti + Cl?), О = (cf + С) + (Сб + Cf) + (Cj + С\) + + (Cii + Cti + C?i+Cl?),

o = (C3+c + c + c!) + (C5 + c + ci + c) + .+ (С7 + С)) + (С„ -f ct, + с?, + с}?),

с = (Сз -С1 + С1 + С1) + (Се + с1 + С -f d) -f

+ (С7 + с + с* -ь с«) + (ct, + с1?).

Возведем последнее уравнение в четвертую степень и сравним результат со вторым уравнением. Это показывает, что с = О и что четвертое уравнение можно отбросить. Прибавим восьмую степень третьего уравнения к третьему уравнению. Это дает в точности второе уравнение, так что его можно отбросить. Итак, остались два уравнения:

c, = cf,-h(C5 + cl~f с*5 + с) + (С7 + с + сис;) + + (c„ + ct,c}?),

о = (С + С) + (Са -f Cl) + (С, + Cl) +

+ (C„ + Cli + C?,-f cl?). Возводя первое уравнение в шестнадцатую степень, получаем Сз=. 4Ч(С5 + С1 + С + С«) + (С7 + С? + С? + С1«) + + (C?:-fC?: + C}?). Подстановка этого выражения в последнее уравнение дает

0 = 4 + 4.

Возведение этого равенства в шестнадцатую степень приводит к уравнению

из которого следует, что равно нулю или единице.

Итак, мы пришли к следующему правилу: Со и с. являются произвольными элементами поля GF (2); CfC и Сц являются произвольными элементами поля GF (32); С], Сд и С15 определяются следующими уравнениями:

Cl = с+ 4 Со + Cl + (Сг + С + d 4 Су) + (Си + С?, + С?,).

Сз = с+ + (Се + с1 -Ь Cl -f СГ) + (С + С? + С? + С}) +

+ (С?, + С?1 + С1?),

с,5 = с+ + Со + (с*5 + с! + с!;) ь (с? + с + Сг + cf) +

+ (Cti + C?i).

Все остальные Cj находятся из условий сопряженности. Обратное преобразование Фурье дает 31-компонентное кодовое слово во временной области, к которому в виде хвоста дописывается символ Построенный код является расширенным (32, 17, 7)-кодом Гоппы. Так как ограничения сопряженности привели к равенству с = О, то второго символа при расширении добавить не удается.

8.9. КОДЫ ПРЕПАРАТЫ

Хороших классов нелинейных кодов известно мало, и среди них находится класс кодов Препараты. Начнем изучение этих кодов с построения в частотной области одного примера, а именно (15, 8)-кода Препараты.

Но прежде чем изучать коды Препараты, вернемся к рассмотренной Б § 5.6 процедуре декодирования двоичных кодов БЧХ, исправляющих две ошибки; в этом случае взаимный многочлен локаторов ошибок выписывается явно; за исключением случая Si = О, он равен

Л (л:) = / + 5,д: ~f 5Г (S? + S3) - 0.

Частный случай Si = О соответствует случаю отсутствия ошибок и легко проверяется. Если положить О/О = О, то многочлен локаторов ошибок будет включать и случай отсутствия ошибок, и в этом случае уравнение вырождается в уравнение л: = О и имеет корни Xi = О и Хг = 0. В случае одной ошибки уравнение принимает вид

-Six = 0 и имеет корни Xi = О и Х2 = Sj.