2.2. ГРУППЫ 31

Рис. 2.1. 6-10-поле. а - таблица сложения; б - таблица умножения. 2.2. ГРУППЫ

Группа - это собирательное название некоторых алгебраических структур. Хотя существуют многие конкретные примеры интересных групп, в математике введено абстрактное понятие группы, так как легче одновременно исследовать все матема-

тические системы с общей структурой, чем исследовать каждую из них по отдельности.

Определение 2.2.1. Группой G называется множество элементов с определенной для каждой пары элементов операцией (обозначаемой *), обладающее следующими четырьмя свойствами:

1) замкнутость: для каждой пары а я b из множества элемент с = а-*Ь принадлежит множеству;

2) ассоциативность: для всех а, b и с из множества

а * (Ь * с) = (а * Ь) * с;

3) су1цествование единицы: в множестве существует элемент е, называемый единичным элементом и такой, что

а * е = е * а = а

для любого элемента а множества;

4) существование обратных элементов: для любого а из множества существует некоторый элемент b из множества, называемый обратным элементу а и такой, что

а*Ь = Ь*а - е.

Если группа G содержит конечное число элементов, то она называется конечной группой, а число элементов в G называется порядком G.

Некоторые группы обладают тем дополнительным свойством, что для любых а и b из группы

а*Ь = Ь*а.

Это свойство называется коммутативностью. Группы, обладающие этим дополнительным свойством, называются коммутативными или абелевыми группами. За исключением некоторого материала этого параграфа, мы всегда будем иметь дело с абелевыми группами. --}

В случае абелевых групп групповая операция обозначается символом + и называется сложением (даже тогда, когда она не является обычным арифметическим сложением). В этом случае единичный элемент называется нулем и обозначается О, а обратный элементу а элемент записывается в виде -а, так что

а + (-а) = {-а) + а = 0.

Иногда групповая операция обозначается символом • и называется умножением (даже тогда, когда она не является обычным арифметическим умножением). В этом случае единичный элемент называется единицей и обозначается 1, а обратный элементу а элемент записывается в виде а, так что

2.2. Группы 33

Теорема 2.2.2. Единичный элемент в каждой группе является единственным. Для каждого элемента группы обратный элемент также является единственным, и (fl:)- = а.

Доказательство. Предположим, что ewe - единичные элементы группы; тогда е - е-*е = ё. Далее, предположим, что bub - элементы, обратные элементу а; тогда

b = = {b*a)b = b.

Наконец, aa = aa~ = 1, так что a-обратный элементу а~. Но в силу единственности обратного элемента = й.П

Имеется бесконечно много примеров групп. Многие группы содержат бесконечное число элементов. Примерами являются целые числа относительно сложения, положительные рациональные числа относительно умножения ), множество веществен-нозначных (2 х 2)-матриц относительно сложения. Многие другие группы содержат только конечное число элементов. Примерами являются двухэлементное множество 0, 1} относительно операции «исключительного или» (сложения по модулю 2), множество {О, 1, 8, 9} относительно сложения по модулю 10 и т. д.

В качестве более сложного примера построим конечнуюне-абелеву группу, т. е. менее известную структуру. Одним из способов построения групп с интересной алгебраической структурой является исследование преобразований простых геометрических фигур и алгебраическая интерпретация этих преобразований. Например, равносторонний треугольник с вершинами А, В и С (занумерованными по часовой стрелке) можно враш,ением или отражением относительно оси отобразить на себя точно шестью различными способами, причем каждоеиз этих вращений и отражений имеет обратное преобразование. Используя некоторые очевидные факты, можно быстро построить алгебраическую группу. Обозначим эти шесть преобразований символами 1, а, Ь, с, d и е следующим образом:

1 = {ABC АБС) (нет изменений), а = {АВС->- САБ) (вращение против часовой стрелки), b = {АБС ВСА) (вращение по часовой стрелке), с = {АВС->- АСБ) (отражение относительно биссектрисы угла А) d = (АБС СБА) (отражение относительно биссектрисы угла Б), е = {АБС БАС) (отражение относительно биссектрисы угла С),

) Этот пример дает удобный повод предостеречь относительно терминологии. В случае произвольной абелевой группы групповая операция обычно называется сложением, но не обязательно является обычным сложением. В данном примере она является обычным умножением.

2 р. Блейхут