п - тг12 = п - тг,

где г - степень многочлена {х). Теперь для того же кода и тех же характеристик мы имеем 2г проверочных частот, и можно непосредственно использовать все известные алгоритмы декодирования.

Наименьшим кодом Гоппы является двоичный (8, 2, 5)-код Гоппы. Выберем G (л:) = л: + л: + 1. Корни этого многочлена различны и лежат в GF (4) или в некотором расширении GF (4) и, следовательно, не могут лежать в GF (8). Таким образом, G {х) может быть выбран для построения кода Гоппы длины 8 по меньшей мере с двумя информационными символами и с минимальным расстоянием, равным по меньшей мере 5. Ниже мы увидим, что число информационных символов равно в точности двум. Для описания этого кода сначала воспользуемся определением 8.8.1, а затем дадим его описание в частотной области, основанное на теореме 8.8.2.

Так как Я (л:) G (л:) + л; (ж - 1) = 1 и G (л:) = л: + л; + 1, то Я (л:) = л:" + + л: + л: + 1. Далее, G (л:) = + х\+ 1 и Я (л:) = л:" + л: -f л: + + 1. Многочлены Н {х) и Я {х) можно вычислить по многочленам G (х) и G (л:) при помощи алгоритма Евклида.

Проверочными частотами являются а-, а-, а- и а", и выполняются равенства Го = Т у = 0, /"„а = О и T z = 0. Вместе с уравнением

п-\

это дает

с+ = Со -- -- Сг + Сз -j- С4,

О = Се + Со + Ci -f Сг + Сз,

О = С5 -f Со + Со + Ci -f Сг,

0 = С+С, +С, +Со + Су.

кроме того, имеются ограничения сопряженности С] = Ciij))-Любой спектр, удовлетворяющий этим проверочным уравнениям и ограничениям сопряженности, является спектром кодового слова. Воспользуемся ограничениями сопряженности для того, чтобы исключить Сг, С4, Сй и Cg.

с = С,+ {Су -f С? + CD + Сз,

О = Со + (Ci + С?) + (Сз + q),

О = Со + (Ci + q) + (CI + d), о = Co -f (q + q) + (Ci + CI).

b.a, к;одЫ oпtiь( 26

Информационные buiTibi

tail-

7-точечное npeoffpasoeuHue Фурье

I I 111 II

Койовое слово из 6 битое

Рис. 8.12. Кодер для (8, 2, 5)-кода Гоппы.

Если положить Со = О, в качестве Ci и Сд выбрать произвольные элементы поля GF (2), а символ удлинения с+ взять равным сумме Ci и Сз, то все уравнения будут удовлетворяться. Таким образом, имеются в точности два информационных символа. Кодер для такого кода в частотной области показан на рис. 8.12.

Согласно теореме 8.8.2, тот же самый код можно получить кодированием во временной области. Проверочная матрица Н кода задается элементами a7G {а~), так что

I 1 а* а а а«

О 1 а* а« а«

где первый столбец дописан для построения расширенного (8.2)-кода. Заменяя каждый элемент поля его З-битозым представлением, получаем

"1 1 0 0 0 0 0 0-0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 110 0 1 0 1111111 0 0 10 110 1 0 О О 1 1 1 1 0

Так как строки этой матрицы линейно независимы то она задает (8,2)-код.

Более сложный пример двоичного кода Гоппы получается при выборе многочлена Гоппы равным многочлену С (л:) = л: + х + 1, который имеет три различных корня в GF (8) или в некотором его расширении и, следовательно, не имеет корней в GF (32).

Согласно теореме 8.8.2, выбор в качестве многочлена Гоппы G (х) или G (х) приводит к (31,16, 7)-коду Гоппы или расширенному (32, 17, 7)-коду Гоппы. (31, 16, 7)-код Гоппы ничем не лучше (31, 16, 7)-кода БЧХ, за исключением того, что его можно расширить до (32, 17, 7)-кода, тогда как код БЧХ расширить нельзя.

Квадрат многочлена G (х) равен G (х) = х -j- х -\- I, и обра-ш,ения многочленов Гоппы соответственно равны

Я (х) = х" + + х" + х- + х- + + х + х" + + + лг + л:" + л;" + + л:" + л:* + л: + л:

+ л;1"2 + л: + л:« + x« + л:5 л;* + хЗ

В рассматриваемом примере введем информацию непосредственно в спектр. Тогда профильтрованный спектр дается равенствами

П = I] Я(( ,-))Су, = 0, ...,п-1,

а проверочными частотами являются частоты с индексами k = -5, -4, 0. Выписывая эти равенства совместно с граничными синдромами с+ и с , получаем

С+ -j- С5 -- Cg -\- Сд Сц -f- Cii -j- Ci:, -f- Ci4 -j- CiG --

+ с IS -j- C.22 }- C23 -- Cgr, -j- Cofi -f- с 24 4" C.28 -- С30,

0 = Ci + C4 + C, + Cs + C,„ + Cu + C12 + Ci3 + Ci, ~b

Ci8 + C.21 -- C22 C24 -- C25 Сзо -- C27 + C29,

0 = C„ + Сз + Ca + C, + C9 + Cio + Cn + C12 + 14 +

~b -- C20 -\- C21 -- C23 -j- C24 -j- 25 -j- Сго C28,

0 = Сзо + C2 +C,+Ce+Cs -hC,+ Clo + Cn + Ci3 +

~}~ CiQ 4- Ci9 -j- C20 + c.22 Cos + C24 -- C25 -j- C27,

0 = C29 + Ci + C4 + C5 + C, -f Cs + C9 + + C12 + Ci5 -f

-b fl8 -b с IS -\- с 21 + 2 -Ь C23 -- C24 -- C2G,

c- = C28 + Co + Сз -f C4 + Ce + C, + Cs + Ce+ Cii -f Ci4 +

~\~ Cyj -(- Cjg -j- C20 + C21 -- C22 -j- C23 -j- C25.

Любые c и С; над GF (32), удовлетворяющие условиям сопряженности С/ = С((2/)), / О, 30, и выписанным уравнениям.